Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouss

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Exponentielle

Bonjour,

Je n'ai pas trop de pb à faire des exos sur la ftion exponentielle mais je me pose une question : pourquoi e=2,718... comment on a fait pour trouver ce nombre avec tous les chiffres derrière la virgule ?

Merci !

rareStrophe

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Re : Exponentielle

Je me permets de te proposer un exercice un peu compliqué mais faisable si tu as fini la terminale qui donne une méthode accessible au lycée pour calculer la valeur numérique de $e$:

1. On considère la fonction $f_n$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{1-x}$$ où $n$ est un entier.

   1. Calculer la limite de $\ln \left(\frac{x^n}{e^x}\right)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire la limite de $\frac{x^n}{e^x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

   2. Donner le tableau de varitation de $f_n$ en distinguant les deux cas suivants: $n$ est pair et $n$ est impair.

   3. Tracer, dans un repère orthogonal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, les courbes représentatives des fonctions $f_2$ et $f_3$; on précisera la position relative de ces courbes.

   4. En revenant au cas général, montrer que, si $0\leq x\leq 1$, alors on a $0\leq f_n(x)\leq \frac{1}{n!}$.

2. Soit $$I_n=\int_0^x \frac{t^n}{n!}e^{1-t}dt.$$

   1. Quelle est la dérivée de la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui, à $t$, associe $e^{1-t}$ ? En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur de $I_1$.

   2. De même, en intégrant $I_n$ par parties, vérifier la relation de récurrence: $$I_n-I_{n-1}=-\frac{x^n}{n!}e^{1-x}.$$

   3. Démontrer que l'on a: $$I_n=e-e^{1-x}\left( 1+\frac{x}{1!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right),$$ c'est à dire $I_n=e-e^{1-x}\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{x^p}{p!}\right)$.
      Quelle est la limite, pour $n$ fixé, de $I_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

3. Dans toute cette question, on donne à $x$ la valeur de $1$ et on pose: $$J_n=\int_0^1\frac{t^n}{n!}e^{1-t}dt.$$

   1. Démontrer que $0\leq J_n\leq \frac{1}{n!}$.

   2. En déduire, en utilisant le calcul de $I_n$ que l'on a : $$0\leq e-\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)\leq \frac{1}{n!}$$ et $$\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)\leq e \leq \left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)+\frac{1}{n!}.$$

   3. Quelle est la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, de $\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}$ ?

   4. En calculant $\sum_{p=0}^{7}\frac{1}{p!}$, donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre $e$.

_{Extrait du livre: Mathématique, Terminale C et E, Analyse, écrit par C. Gautier, P. Royer et C. Thierce}

Dernière modification par rareStrophe (11-08-2022 19:40:01)