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Je me permets de te proposer un exercice un peu compliqué mais faisable si tu as fini la terminale qui donne une méthode accessible au lycée pour calculer la valeur numérique de $e$:

1. On considère la fonction $f_n$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{1-x}$$ où $n$ est un entier.

   1. Calculer la limite de $\ln \left(\frac{x^n}{e^x}\right)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire la limite de $\frac{x^n}{e^x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

   2. Donner le tableau de varitation de $f_n$ en distinguant les deux cas suivants: $n$ est pair et $n$ est impair.

   3. Tracer, dans un repère orthogonal $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, les courbes représentatives des fonctions $f_2$ et $f_3$; on précisera la position relative de ces courbes.

   4. En revenant au cas général, montrer que, si $0\leq x\leq 1$, alors on a $0\leq f_n(x)\leq \frac{1}{n!}$.

2. Soit $$I_n=\int_0^x \frac{t^n}{n!}e^{1-t}dt.$$

   1. Quelle est la dérivée de la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui, à $t$, associe $e^{1-t}$ ? En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur de $I_1$.

   2. De même, en intégrant $I_n$ par parties, vérifier la relation de récurrence: $$I_n-I_{n-1}=-\frac{x^n}{n!}e^{1-x}.$$

   3. Démontrer que l'on a: $$I_n=e-e^{1-x}\left( 1+\frac{x}{1!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right),$$ c'est à dire $I_n=e-e^{1-x}\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{x^p}{p!}\right)$.
      Quelle est la limite, pour $n$ fixé, de $I_n$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

3. Dans toute cette question, on donne à $x$ la valeur de $1$ et on pose: $$J_n=\int_0^1\frac{t^n}{n!}e^{1-t}dt.$$

   1. Démontrer que $0\leq J_n\leq \frac{1}{n!}$.

   2. En déduire, en utilisant le calcul de $I_n$ que l'on a : $$0\leq e-\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)\leq \frac{1}{n!}$$ et $$\left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)\leq e \leq \left(\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}\right)+\frac{1}{n!}.$$

   3. Quelle est la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, de $\sum_{p=0}^{n}\frac{1}{p!}$ ?

   4. En calculant $\sum_{p=0}^{7}\frac{1}{p!}$, donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre $e$.

_{Extrait du livre: Mathématique, Terminale C et E, Analyse, écrit par C. Gautier, P. Royer et C. Thierce}