Forum de mathématiques - Bibm@th.net

maths48

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Groupe cyclique

Bonsoir,

Comment justifier que ((Z/8Z) x (Z/15Z), +) est cyclique ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

abc

Invité

Re : Groupe cyclique

Si vous voyez que en géneral l'ordre d'un élément [tex](a,b)\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}[/tex] est le plus petit commun multiple de les ordres d'$a$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ et de $b$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $, alors c'est fini. Le  plus petit commun multiple de 8 et 15 est 8*15=120 parce que ils sont premiers entre eux et l'ordre de $1$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ est toujours $n$ , alors l'ordre de $(1,1)$ dans $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ est 120. Si il y a un élément d'ordre la cardinalité de le groupe, est-ce que cet élément ǵénère le groupe, i.e. le groupe est cyclique.

J'espère que il t'a fait service et excusez mon français!

Tof

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Messages : 52

Re : Groupe cyclique

Bonjour,

Sinon vous pouvez aussi procéder ainsi:
$\psi ( \overline{x} ) = ( \overline{x} , \overline{x}  )$  définit bien  une application ( pourquoi?) adéquate d'un groupe vers l'autre,
car c'est en fait un morphisme, dont le noyau est {0} ( pourquoi?) , donc injective, donc surjective (pourquoi ?).

$\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}$ est aussi cyclique que $\psi(\mathbb{Z} /120\mathbb{Z} )$ puisque $\psi$ est un isomorphisme.
Un générateur est $\psi(  \overline{1} ) = ( \overline{1} , \overline{1} )$

T.