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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Tof
- 05-05-2022 13:32:00
Bonjour,
Sinon vous pouvez aussi procéder ainsi:
$\psi ( \overline{x} ) = ( \overline{x} , \overline{x} )$ définit bien une application ( pourquoi?) adéquate d'un groupe vers l'autre,
car c'est en fait un morphisme, dont le noyau est {0} ( pourquoi?) , donc injective, donc surjective (pourquoi ?).
$\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}$ est aussi cyclique que $\psi(\mathbb{Z} /120\mathbb{Z} )$ puisque $\psi$ est un isomorphisme.
Un générateur est $\psi( \overline{1} ) = ( \overline{1} , \overline{1} )$
T.
- abc
- 04-05-2022 19:57:25
Si vous voyez que en géneral l'ordre d'un élément [tex](a,b)\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}[/tex] est le plus petit commun multiple de les ordres d'$a$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ et de $b$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $, alors c'est fini. Le plus petit commun multiple de 8 et 15 est 8*15=120 parce que ils sont premiers entre eux et l'ordre de $1$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ est toujours $n$ , alors l'ordre de $(1,1)$ dans $ \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ est 120. Si il y a un élément d'ordre la cardinalité de le groupe, est-ce que cet élément ǵénère le groupe, i.e. le groupe est cyclique.
J'espère que il t'a fait service et excusez mon français!
- maths48
- 04-05-2022 19:14:14
Bonsoir,
Comment justifier que ((Z/8Z) x (Z/15Z), +) est cyclique ?
Merci d'avance,
Bonne soirée