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Collateral_

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Produit vectoriel dans le cadre de l’algèbre linéaire

Bonjour, je suis tomber sur un excercice que je n’arrive pas à résoudre:

Soit {e1,e2,e3} la base canonique de R^3. Montrer qu’il existe une unique application bilinéaire alternée telle que :
 
  f R^3xR^3——->R^3

  f(e1,e2)=e3  f(e2,e3)=e1  f(e3,e1)=e2

Ensuite on nous dis à l’aide des composantes de x et y dans la base canonique calculer f(x,y).

J’ai essayer de trouver la matrice de f dans la base canonique mais je n’ai pas réussi à calculer f(ei,ei)
J’ai aussi tenté d’écrire f(x1e1…,y1e1…) mais pareil je ne connais pas f(ei,ei). Je dois etre bête étant donné  que j’ai pas la moindre idée de comment répondre aux deux premier question de cet excercice qui est l’exercice numéro 1 du chapitre…

Merci de m’avoir lu

Dernière modification par Collateral_ (20-10-2021 15:44:58)

Roro

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Re : Produit vectoriel dans le cadre de l’algèbre linéaire

Bonsoir,

...je ne connais pas f(ei,ei). Je dois etre bête…

Je ne pense pas que tu sois "bête" mais sur ce coup là c'est assez simple et c'est juste que tu as cherché trop compliqué :
$$\forall u\in \mathbb R^3 \qquad f(u,u)=0$$
car $f$ est bilinéaire alternée (écrire $f(u,v)=-f(v,u)$ et l'appliquer avec $u=v$) !

Roro.

Dernière modification par Roro (20-10-2021 16:57:34)

Collateral_

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Re : Produit vectoriel dans le cadre de l’algèbre linéaire

Bonsoir, merci beaucoup de votre réponse, tout est plus clair maintenant, t’es un king