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LeNain

Invité

Problème Equation différentielle

Bonjour à tous,
Voilà un bon moment que je bloque sur un exercice qui me semble basique d'équation différentielle,
voici le sujet :

Question 1) je trouve g'(t) = -N'(t)/(N(t))^2 = > -3N(t) - 0.005 (N(t))^2 / (N(t))^2.

C'est à la question 2) que je bloque (déjà), nous n'avons fait qu'un seul exercice avec ce type de question (montrer que A est solution de E ssi B est solution de E') et je n'arrive pas a reporter la même méthode...
J'ai essayé ça : Si N est solution de (E) alors pour tout x de I : N'(t) = 3N(t) - 0.005 (N(t))^2
Or N et g sont dérivables, donc g' = 3g - 0.005g^2
=> -N/N^2 = 3/N - 0.005*1/N^2 (j'ai enlevé les (t) pour une lecture plus lisible).
=> -N = 3N - 0.005 ... et la je coince, sûrement que je suis mal parti mais je ne vois pas du tout comment faire...

Pour les autres questions, je crois que les solutions seront de la forme ke^ax + g(x) mais j'ai du mal à le démontrer encore..
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire, et encore plus à me répondre !
Bonne soirée

Roro

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Re : Problème Equation différentielle

Bonsoir,

Question 1) je trouve g'(t) = -N'(t)/(N(t))²

Je suis d'accord.

C'est à la question 2) que je bloque

J'ai assez de mal à lire ce que tu écris car ce n'est pas très clair entre les priorités par exemple quand tu écris N/N^2...

Ceci étant dit, l'idée est de reprendre la question 1 et d'utiliser l'équation vérifiée par N :
$$g' = \frac{-N'}{N²} = \frac{-(3N-0.005N²)}{N²}$$
En simplifiant la dernière expression tu retrouveras la relation voulue :
$$g'=-3g+0.005.$$

Dans cette question 2, on demande de montrer une équivalence, il faut donc aussi montrer que si $g'=-3g+0.005$ alors la fonction $N=\frac{1}{g}$ vérifie $N'=3N-0.005N²$ mais c'est exactement la même idée.

Roro.

LeNain

Invité

Re : Problème Equation différentielle

Parfait merci ! j'ai réussi à trouver l'équivalence voulue.

Ensuite, pour la question 3) je trouve :

- les solutions de (E') de la forme : ke^-3x + 0.005/3

- les solutions de (E) de la forme : ke^3x + 1/g

Puis la 4)

a. On a N(0) = 2000 donc ke^0 + 1/g(0) = 2000 avec g(0) = 1/2000

Soit, k + 2000 = 2000 donc k = 0

Ainsi, la solution F de (E) telle que N(0)= 2000 est F(x) = 1/g

Mais là je suis pas sûr du tout...

Roro

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Re : Problème Equation différentielle

Re-bonsoir,

Je suis d'accord pour la forme de $g$, mais pas sur celle de $N$. Rappelle toi que $N=\frac{1}{g}$.

La réponse à la question 4 n'a pas de sens puisqu'elle fait apparaitre $g$ ! Mais tu as presque raison : la donnée N(0)=2000 te permettra de déterminer la seule inconnue de ton problème : la constante $k$. Ensuite, tu connaitras explicitement $N(t)$, et tu pourras en déduire $N(2)$.

Roro.

LeNain

Invité

Re : Problème Equation différentielle

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
J'entends bien que N = 1/g mais je ne vois pas comment m'en servir pour résoudre (E)... si vous pouvez m'expliquer svp :)
Merci d'avance,
LeNain

Roro

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Re : Problème Equation différentielle

Si tu as $g(t)=k\,e^{-3t}+\frac{0.005}{3}$ alors $N(t) = \frac{1}{g(t)} = \frac{1}{k\,e^{-3t}+\frac{0.005}{3}}$.

Roro.

LeNain

Invité

Re : Problème Equation différentielle

Ah d'accord merci ! Je n'y avais pas pensé comme ça...

Du coup pour k je trouve : k = -7/6000
ce qui donne N(t) = 1 / ((-7/6000)e^-3x + 0.005/3)

Et pour N(2) = 601.

J'espère que c'est ça ^^
Merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée !
LeNain

Roro

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Re : Problème Equation différentielle

OK pour tout !
Bonne journée,
Roro.