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Bamba

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Mesures et intégration

Salut à tous en fait je voulais savoir comment montrer à partir de “ N* est infini dénombrable ” que les ensembles N, Z, NxN et Q sont aussi infinis dénombrables

Roro

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Re : Mesures et intégration

Bonsoir,

Pour moi, la définition d'être "infini dénombrable" est d'être en bijection avec $\mathbb N$, donc démontrer que $\mathbb N$ est infini dénombrable n'a pas de sens.

Ensuite, pour montrer que les autres ensembles sont aussi infinis dénombrables, le plus simple est de construire la bijection avec $\mathbb N$.

Un exemple  : $n\in \mathbb N \longmapsto n+1\in ???$...

Roro.

Dernière modification par Roro (17-04-2021 20:05:28)

bridgslam

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Re : Mesures et intégration

Bonjour,

L'application [tex]\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}[/tex] telle que [tex]n \rightarrow n - 1[/tex] est bijective, donc ...
Pour la suite, on peut utiliser que [tex]\mathbb{Z} = \mathbb{N}^* \cup - \mathbb{N} [/tex] , pour en déduire assez rapidement le résultat.
Une partie infinie de [tex] \mathbb{N}^* [/tex]  est en bijection avec [tex] \mathbb{N}^2[/tex]   en  considérant
[tex] ( n ,m )   \rightarrow  2^n . 3^m[/tex].

Enfin la construction de [tex]\mathbb{Q} [/tex] s'obtient comme un ensemble-quotient sur [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*[/tex],
donc est au plus dénombrable par surjectivité, mais "contient" [tex]\mathbb{Z}[/tex]... donc est infini.

Les façons de faire sont nombreuses.

Alain