Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cher Monsieur, bonjour.

Veuillez trouver ci-joint la réponse à votre aimable question :
http://www.bibmath.net/exercices/bde/al … nieeno.pdf
Exercice 11 ou 12 (voir la correction).

Bien à vous,
Roro.

Bonsoir,

Pour ce qui est des deux exemples que tu demandes, ils représentent assez bien ce qui se passe en général :

1) Une primitive de [tex]\mathrm e^x[/tex] étant [tex]\mathrm e^x[/tex], il est assez facile de calculer des intégrales de cette fonction :
[tex]\int_a^b \mathrm e^x dx = \mathrm e^b-\mathrm e^a[/tex]
Le calcul ci-dessus pourra te permettre de répondre dans tous les cas où tu connais une primitive...
Remarque : Attention, si [tex]b=+\infty[/tex] alors l'intégrale diverge...

2) La primitive de [tex]\mathrm e^{-x^2}[/tex] ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions usuelles (contrairement à ce qu'affirme le message de Popoucosam). Parfois une de ces primitives est appelée [tex]\mathrm{erf}[/tex].
C'est un peu comme si la fonction logarithme n'existait pas et que tu voulais calculer la primitive de [tex]1/x[/tex]. Je te répondrais qu'elle ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles, et on définirait ainsi une nouvelle fonction...[tex]\ln[/tex].

Il est donc impossible d'exprimer, pour des valeurs de a et b quelconques la valeur de [tex]\int_a^b \mathrm e^{-x^2} dx[/tex].
En pratique, il existe quelques résultats très connus et pas très difficile à prouver, par exemple lorsque [tex]a=-\infty\quad \text{et} \quad b=+\infty[/tex] on sait que l'intégrale vaut [tex]\sqrt{\pi}[/tex]...

Roro.

Bonsoir,

Pour trouver une primitive de fonction de la forme [tex]f(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})[/tex] on peut faire de changement de variable [tex]u = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}[/tex]. On tombe alors sur la primitive d'une fraction rationnelle en [tex]u[/tex].

Dans ton cas, il suffit donc de faire le changement de variable [tex]u=\sqrt{1-\frac{1}{x}}[/tex].

Si tu veux directement la réponse sans te fatiguer (et sans comprendre), tu peux t'aider de la réponse en consultant le site

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false

Roro.

Bonsoir,

Même si je ne suis pas certain de répondre à la question, je vais me permettre de donner quelques avis (questions) sur le problème :
Si j'ai bien compris, tu as à résoudre une équation aux dérivées partielles qui ressemble à [tex]\Delta^2 u = f[/tex].
L'inconnue est une fonction [tex]u:[0,L]\times[0,H] \mapsto \mathbb R^n[/tex].

Comme tu sembles le dire à juste titre, il faut des conditions au bord pour que le problème soit "bien posé" c'est à dire pour qu'on soit certain qu'il existe une et une seule solution.
Es-tu sur que le problème que tu traites (avec tes conditions au bord) a cette propriété ?

A mon avis, pour que la solution soit (un peu) régulière il faut que les conditions soit "compatibles", c'est-à-dire que la condition imposée sur le bord x=0 et celle imposée sur le bord y=0 coïncident au coin x=y=0.

En tout cas, le fait d'utiliser les formules de Taylor pour faire l'approximation dont tu parles est rigoureuse (c'est aussi la base pour de nombreuses méthodes d'approximation et en particulier celle des différences finies - j'ai l'impression que tu utilises cette méthode).

Enfin, en général pour discrétiser le double laplacien (ou bilaplacien) on utilise souvent la forme équivalente suivante : [tex]\Delta u = v, \quad \Delta v = f[/tex] ce qui permet de traiter le même problème comme un système et d'utiliser la discrétisation habituelle du laplacien (évidemment pour que ça marche il faut aussi regarder ce que deviennent tes conditions au bord).

En espérant t'avoir éclairé sur certains points.
N'hésite pas à reposter si tu as une question précise.

Roro.

Bonjour,

Parfait... c'est à cette méthode que je pensais.

Roro.

Re,

L'idée est de prendre ensuite F=F(x) et G=G(x), mais pour le faire il faut que f(x,F(x)) et f(x,G(x)) aient un sens, donc que (x,F(x)) et (x,G(x)) soient dans U.

Ensuite, en disant que f(x,F(x)) et f(x,G(x)) sont nulles et en utilisant que [tex]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex] est non nul sur U, tu en déduis que F(x)=G(x)...

J'ai aussi utilisé la condition [tex]F(x^0)=y^0=G(x^0)[/tex] de façon implicite : pour cela il faut que tu comprennes ce qu'est le nombre c qui était dans mon premier message.
Il "vit" entre F(x) et G(x), donc si tu es certain que [tex]F(x^0)=y^0=G(x^0)[/tex] (et que F et G sont continues) alors tu seras certain que c reste au voisinage de [tex]y^0[/tex]...

Bon courage,
Roro.

Bonjour,

J'aurais (on aurait ?) bien aimé savoir ce que tu avais essayé de faire avant de te donner une réponse toute faite...
Une indication avant que tu me dises ce que tu as essayé :
[tex]f(x,F)-f(x,G) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,c) (F-G)...[/tex]
Roro.

Re,

Je n'ai pas vérifié que tes deux vecteurs étaient bons mais il n'y a pas unicité dans le choix des vecteurs (c'est effectivement la raison pour laquelle j'avais indiqué "par exemple").

En fait, l'orthogonal de F est un sous-espace vectoriel de [tex]R^4[/tex] de dimension 2. Il est décrit, comme je te l'ai démontré, par
[tex]F^\perp = \{(x,y,z,t)\in R^4 ~;~ x+2y-z+t=0 ~et~ y+z+2t=0\}[/tex]

Il existe plein de base pour un espace de dimension 2 (il suffit de trouver deux vecteurs non colinéaires).
Pour trouver une telle base, tu peux comme tu l'as fait choisir un premier vecteur de la forme (0,1,z,t), tu verras que les deux conditions (dans l'expression de [tex]F^\perp[/tex] ci-dessus) te donnent z=1 et t=-1 comme tu l'as retrouvé.
Ensuite tu peux faire la même manip en cherchant un vecteur dans [tex]F^\perp[/tex] de la forme (1,0,z,t) et tu obtiendras le second vecteur que je t'avais proposé (à multiplication près)...
Ces deux vecteurs étant clairement non liés, tu as ainsi une base de [tex]F^\perp[/tex].

Ce que tu as proposé pour trouver un second vecteur est aussi correct (et même dans certains cas plus intéressant). En fait tu as, peut être sans le savoir, construit une base orthogonale de [tex]F^\perp[/tex]. C'est-à-dire que tu as cherché un deuxième vecteur dans [tex]F^\perp[/tex] qui était orthogonal au premier. Comme on peut (facilement) montrer que si deux vecteurs sont orthogonaux alors ils ne sont pas colinéaires, tu as toi aussi trouvé une base de [tex]F^\perp[/tex].

Je ne sais pas si c'est assez clair...

Roro.

Bonsoir,

ce que dit Fred, c'est qu'il faut décomposer la fraction rationnelle [tex]\frac{1}{1+X^4}[/tex] en éléments simples.
En ayant écrit le polynôme [tex]1+X^4[/tex] comme un produit de polynômes irréductibles sur [tex]\mathbb R[/tex] tu as déjà fais une bonne partie du boulot (J'imagine que tu connais la méthode pour obtenir une décomposition en éléments simples).

Une fois que tu as cette décomposition, utilise le lien de Fred pour intégrer chaque "élément"...

Roro.

Bonsoir timtim,

Très étonnant (mais néanmoins passionnant) la façon que tu as pour expliquer la présence du 1/3 dans l'expression du volume d'une boule.
J'aurais juste une petite remarque :
Le volume d'un cube (de coté c) vaut [tex]c^3[/tex] mais quand je dérive j'obtiens [tex]3c^2[/tex], ce qui n'est manifestement pas la surface de mon cube !
Alors pour quelles types d'ensemble ta "formule magique" (disant que il faut dériver le volume (par rapport à quoi ?) pour obtenir la surface) est-elle prouvée ?

Roro.

P.S. J'ai pas trop envie de me creuser la tête mais j'ai quand même l'impression qu'il ne s'agit que d'un coïncidence dans le cas de la boule...

Bonsoir picatshou,

J'ai un peu de mal à lire tes "formules" mais bon...
Pour le calcul de l'aire du disque, ça me parait correct :
[tex] A = \int_{(x,y)\in \text{Disque}} 1 \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^R r\, drdm = \left( \int_0^{2\pi} dm \right) \times \left( \int_0^R r\, dr \right) = 2\pi \times \frac{R^2}{2} = \pi R^2.[/tex]

Pour le calcul du volume de la sphère, c'est "exactement" pareil. Tu utilises le changement de variable en coordonnées sphériques :
[tex] V = \int_{(x,y,z)\in \text{Boule}} 1 \, dxdydz = \int_0^{2\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^R r^2\, \cos(k)\, drdkdm = ... [/tex]
Continue le calcul et tu verras que le 1/3 arrive naturellement...

Pour le cône, tu dois pouvoir utiliser ce qui s'appelle une intégration par tranches, dis moi si ça te dit quelques chose...

Roro.

Bonjour picatshou,

Tu réponse à la première question est "correcte" (attention toutefois à ne pas confondre z et (x,y) (par exemple quand tu dis [tex]z_n\in A[/tex] ce n'est pas vraiment ça).

Tu aurais pu faire différemment, je te dis comment. Ca pourra peut être te servir pour les autres questions.

L'ensemble A est fermé si et seulement si sont complémentaire [tex]A^c[/tex] est ouvert. Je montre ensuite que si [tex](x,y)\in A^c[/tex] alors je peux trouver (à la main, fait un dessin pour t'aider) un réel r>0 tel que la boule de centre (x,y) et de rayon r soit entièrement dans [tex]A^c[/tex]. Conclusion : [tex]A^c[/tex] est ouvert.

Roro.