Forum de mathématiques - Bibm@th.net

théo

Membre

Inscription : 08-01-2007

Messages : 36

Orthogonal d'un sous espace [Résolu]

Tout d'abord, bonsoir (ou bonjour...) a tous.

Voila mon énnoncé:
Soit [tex] E=R^4 [/tex] muni du produit scalaire canonique. Soit F le sous-espace de E engendré par les vecteurs [tex] e_1=(1,2,-1,1) [/tex] et [tex] e_2=(0,1,1,2) [/tex]. Determiner une base de l'orthogonal de F.

Ce que j'ai voulu faire:

Prendre un vecteur [tex] X(x_1,x_2,x_3,x_4) \in E [/tex] et un vecteur [tex] Y=(y_1,y_2) \in F [/tex]. Puis j'ecris Y dans la base canonique et j'obtiens [tex] Y=(y_1,2y_1+y_2,y_2-y_1,y_1+2y_2) [/tex]. Ensuite, je fait <X,Y>=0 et j'obtient 4 équations:
[tex]x_1y_1=0[/tex]
[tex]2y_1x_2+y_2x_2=0[/tex]
[tex]y_2x_3-y_1x_3=0[/tex]
[tex]2y_2x_4+y_1x_4=0[/tex]

Et après je sais plus quoi faire...? Je vois pas trop ce que je peux obtenir avec ces équations... Je me demande si je suis sur la bonne voie, mais je n'en vois pas d'autre...

J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer.

Merci

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Orthogonal d'un sous espace [Résolu]

Bonsoir théo,

Voici comment je procéderais :
[tex](x,y,z,t)\in R^4[/tex] appartient à l'orthogonal de F si et seulement si [tex](x,y,z,t)\cdot e_1 = 0[/tex] et [tex](x,y,z,t)\cdot e_2 = 0[/tex].
Tu en déduis que [tex](x,y,z,t)\in R^4[/tex] appartient à l'orthogonal de F si et seulement si [tex]x+2y-z+t=0[/tex] et [tex]y+z+2t=0[/tex].
Ainsi, l'orthogonal de F est engendré par exemple par les vecteurs (3,0,2,-1) et (0,1,1,-1).

Bon ceci dit je t'ai donné une solution mais ce n'est pas très constructif : je n'ai pas trop compris ce que tu as essayé de faire. Par exemple, tu ne peux pas obtenir 4 équations à partir de la relation <X,Y>=0 (c'est une seule équation !, le produit scalaire est la somme des termes que tu as écris ensuite...)

Roro.

théo

Membre

Inscription : 08-01-2007

Messages : 36

Re : Orthogonal d'un sous espace [Résolu]

Bonjour Roro,
Tout d'abord merci d'avoir répondu.
Je comprends comment obtenir les deux équations que tu donne...ce la ne pose pas de problème...par contre une fois que j'ai ces deux équations...comment obtenir les deux vecteurs?
J'ai posé x=0 et grace a des substitutions j'ai obtenu le vecteur u=(0,1,1-1), ensuite je refait pareil avec  x',y',z',t' et mais qui doivent en plus des 2 équations précédentes satisfaire l'équation <(x',y',z',t'),u>=0 , je trouve le vecteur v=(-3,1,-1,0). Etant donné que tu as dit "par exemple les vecteurs...." je suppose que même si mon vecteur v diffère de ton premier vecteur, ce n'est pas forcemment faux.
Bref, ca j'y arrive par contre je ne comprend pas pourquoi <(x',y',z',t'),u>=0 car ce la voudrait dire que u doit être orthogonal à v...pourquoi? En fait j'ai plus ou moins deviné cette condition, et cela a marché puisque j'obtiens un 2eme vecteur, en revanche j'aimerais bien comprendre...

Désolé au cas où je ne serais pas très clair...

Merci

Dernière modification par théo (13-05-2009 09:21:45)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Orthogonal d'un sous espace [Résolu]

Re,

Je n'ai pas vérifié que tes deux vecteurs étaient bons mais il n'y a pas unicité dans le choix des vecteurs (c'est effectivement la raison pour laquelle j'avais indiqué "par exemple").

En fait, l'orthogonal de F est un sous-espace vectoriel de [tex]R^4[/tex] de dimension 2. Il est décrit, comme je te l'ai démontré, par
[tex]F^\perp = \{(x,y,z,t)\in R^4 ~;~ x+2y-z+t=0 ~et~ y+z+2t=0\}[/tex]

Il existe plein de base pour un espace de dimension 2 (il suffit de trouver deux vecteurs non colinéaires).
Pour trouver une telle base, tu peux comme tu l'as fait choisir un premier vecteur de la forme (0,1,z,t), tu verras que les deux conditions (dans l'expression de [tex]F^\perp[/tex] ci-dessus) te donnent z=1 et t=-1 comme tu l'as retrouvé.
Ensuite tu peux faire la même manip en cherchant un vecteur dans [tex]F^\perp[/tex] de la forme (1,0,z,t) et tu obtiendras le second vecteur que je t'avais proposé (à multiplication près)...
Ces deux vecteurs étant clairement non liés, tu as ainsi une base de [tex]F^\perp[/tex].

Ce que tu as proposé pour trouver un second vecteur est aussi correct (et même dans certains cas plus intéressant). En fait tu as, peut être sans le savoir, construit une base orthogonale de [tex]F^\perp[/tex]. C'est-à-dire que tu as cherché un deuxième vecteur dans [tex]F^\perp[/tex] qui était orthogonal au premier. Comme on peut (facilement) montrer que si deux vecteurs sont orthogonaux alors ils ne sont pas colinéaires, tu as toi aussi trouvé une base de [tex]F^\perp[/tex].

Je ne sais pas si c'est assez clair...

Roro.

théo

Membre

Inscription : 08-01-2007

Messages : 36

Re : Orthogonal d'un sous espace [Résolu]

Oui c'est très clair.

Merci beaucoup