Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir à tous, bonsoir Black Jack,

Je reviens un peu tardivement : j'ai été peu disponible ces jours-ci.

S'il y a bien un domaine de l'enseignement des maths qui relève du dressage, c'est, à mon sens, celui de la dérivation !

On balance d'abord tout de go la définition du nombre dérivé en une valeur $a$ comme étant la limite du taux d'accroissement lorsque $h = x -a$ tend vers $0$ :
        $f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h) - f(a)}{h}$

Ploum ! (Très peu de profs présentent d'emblée la définition $f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0} \dfrac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ )

Qu'est-ce qu'un taux d'accroissement ? Que traduit-il ? Qu'est-ce que même un taux ? Que signifie $h \to 0$ ? Que signifie, par exemple $f'(a) = 0,2$ ou $f'(a) = -5$ ?

Fort de cette définition assénée ex abrupto, on fait calculer les nombres dérivés de $mx + p$, $x^2$, éventuellement $x^3$, $\sqrt x$, toujours par la même méthode qui devient rapidement lassante.

Comme les élèves n'intègrent pas que $\dfrac 1 x$ et $\sqrt x$ relèvent de la logique d'une fonction puissance à laquelle s'applique la structure $nx^{n-1}$, je les vois presque systématiquement hésiter : ils se souviennent que dans les deux cas, l'expression du nombre dérivé ou de la dérivée est 1 sur quelque chose, que dans les deux cas il y a un 2, et que l'un des deux cas il y a le signe $-$.
Je vois donc couramment $- \dfrac 1 {2 \sqrt x}$ pour la dérivée de $\dfrac 1 x$, et $- \dfrac 1 {x^2}$ pour la dérivée de $\sqrt x$.

A partir de là on présente les deux tables des dérivées, la première en $x$, le seconde en $u$.
« Je dois apprendre tout ça ?! »
« Le prof nous a balancé une série de formules dont je ne comprends pas la logique ! »
(Idem d'ailleurs pour les tables de primitives.)
Alors qu'il y a juste une structure à apprendre, et à comprendre la logique générale de dérivation de fonctions composées.

Viennent ensuite la dérivation des différentes opérations portant sur les fonctions : multiplication d'une fonction par un réel, somme et produit de deux fonctions, et deux seulement, quotient de deux fonctions, avec l'inévitable formule $(uv)' = u'v + uv'$ érigée en véritable tyrannie :
il faut explicitement écrire — sous peine de perte de points !! — quelle fonction correspond à $u$, quelle fonction correspond à $v$, rappeler la formule, écrire la dérivée du produit objet de l'exercice.
Ecrire directement que la dérivée de $(2x^2 - 5x - 7)e^{3x + 2}$ est égale à $(4x - 5)e^{3x + 2} + (2x^2 - 5x - 7)e^{3x + 2} \times 3$, en montrant qu'on a parfaitement compris la règle de dérivation, peut coûter des points !!!
(Mes élèves sont tout étonnés lorsque je leur demande d'écrire la dérivée de $uvw$, ou de $uvwt$.)

Vient enfin la fameuse équation de la tangente, une des deux divinités de la dérivation, à laquelle on rend un véritable culte incantatoire : "l'équation de la tangente", "l'équation de la tangente".
(Je ne sais combien de milliers — de dizaines de milliers ? —d'exercices demandent de déterminer l'équation de la tangente, qui, la plupart du temps, ne sert quasiment à rien.)
Mais comme les élèves retiennent surtout $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, ils ne comprennent pas qu'il faut développer en $y = f'(a)\,x + f(a) - af'(a)$ pour obtenir une équation réduite de la forme $y = mx + p$.
Et ils sont étonnés lorsque j'explique que pour que la tangente passe par l'origine, il faut simplement que $f(a) - af'(a)$ soit égal à $0$.
Je reçois même en réaction « Mais on nous ne l'a jamais dit ! ».

Avant que soit étudiée en Terminale la dérivée seconde — vous vous rendez compte ! la dérivée de la dérivée ! les neurones des pauvres élèves de Première ne peuvent pas encaisser un tel niveau conceptuel ! —, un grand nombre d'exercices demandent de calculer le nombre dérivé en telle valeur, et de déterminer l'équation de la tangente correspondante.
Puis demandent d'étudier le signe de $f(x)$ moins un polynôme du premier degré, qui se trouve précisément être celui de la tangente demandée, et d'en déduire la position relative de la courbe $C_f$ et de cette droite.

Les élèves perçoivent que si la différence est positive, la courbe est au-dessus de la droite, et que si la différence est négative, elle est en dessous de la droite, mais ne perçoivent pas que la différence nulle signifie tout simplement que la courbe et la droite ont alors un point commun, ce qui est la moindre des choses pour une courbe et sa tangente en un point.

Comme les notions de convexité, de concavité et de point d'inflexion ne sont vues qu'en Terminale — là aussi ces notions dépassent largement les capacités neuronales des élèves de Première ! — l'exercice, souvent, s'arrête là.

Mais la grande divinité incantatoire de la dérivation est le signe de la dérivée et son dérivé, le cé-lé-bris-sime tableau de variation, avec comme l'écrit Black Jack, les limites aux bornes du domaine de définition, et quelques valeurs caractéristiques.

Vous ne pouvez pas imaginer avec quel plaisir intense les élèves apprennent que telle fonction, dont ils ne voient même pas la courbe dans la majeure partie des cas, croît jusqu'à un maximum, puis décroît jusqu'à un minimum, puis tend vers une limite finie en $+ \infty$ !

Le tableau n'indique pas avec quelle vitesse évolue la fonction dans tel intervalle — $e^x$, $\sqrt x$, $\ln x$, sont croissantes et tendent toutes trois vers $+ \infty$.

Il n'indique pas non plus explicitement l'existence de points d'inflexion, qui se déduisent de la configuration du tableau de variation :
Par exemple, il y a obligatoirement une inflexion entre deux extrema, ou entre un extremum et une limite finie en $+\infty$.
(Pour vous en convaincre, tracez une courbe avec un maximum et un minimum. Vous verrez que votre main dessinera automatiquement une inflexion. Vous le percevrez encore plus si vous dessinez une courbe avec, par exemple, un extremum suivi d'une asymptote horizontale.)

Le calcul de la dérivée seconde et la détermination des valeurs pour lesquelles elle s'annule en changeant de signe permettent de préciser les valeurs exactes pour lesquelles il y a inflexion.
C'est d'autant plus utile que sur la courbe, un point d'inflexion est entouré d'une partie rectiligne plus ou moins étendue, et que vouloir déterminer graphiquement le point d'inflexion relève le plus souvent du pifomètre.

En conclusion, la notion de dérivée est sans doute la notion la plus importante, et, paradoxalement par ce que je peux voir maintes et maintes fois, la plus mal enseignée.

Merci de votre attention, selon la formule consacrée, et pardon de vous asséner un nouveau pavé borassussien. :-)
Bon week-end à tous !

Bonjour à tous,

Pour illustrer le peu d'informations contenues dans les tableaux de variations, j'aimerais mettre en regard la fonction exponentielle de base $e$ et une fonction présentant le même tableau de variation mais avec une croissance très lente.

J'ai vu de telles fonctions dans des exercices — je visualise systématiquement les fonctions données en exercice et les commente le plus souvent au-delà de ce qui est demandé — mais je ne me souviens plus lesquelles et à qui j'ai joint les copies de telles courbes.

Merci de vos suggestion.
Bonne et fructueuse journée.
Bien cordialement,
Bor.