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Kondaurov

Invité

Erreur que je ne comprends pas

Bonjour,
Je suis un professeur particulier de mathématiques pour lycéens. Le professeur (le vrai :3) de mon élève a posé l'exercice suivant :

------
On propose l’algorithme ci-dessous :
def suite1 ( n ) :
u = 4
for i in range ( n ) :
u = u * u / 2
return u

1. Faire tourner « à la main » l’algorithme avec n = 5.
2. Déterminer les rôles de la variable n et de la fonction Python suite1.
3. Définir la suite (un) associée à l’algorithme.
--------

J'ai obtenu les résultats suivants :
u0 (avant itération de l'algorithme) = 4 = u0 * 2^0 ( = u0 * 2^(2^0-1) )
u1 (1ere itération) = 8 = u0 * 2^1 ( = u0 * 2^(2^1-1) )
u2 (2e) = 32 = u0 * 2^3 ( = u0 * 2^(2^2-1) )
u3 = 512 = u0 * 2^7 ( = u0 * 2^(2^3-1) )
u4 = 131072 = u0 * 2^15 ( = u0 * 2^(2^4-1) )
u5 = 8 589 934 592 = u0 * 2^31 ( = u0 * 2^(2^5-1) )

Pour moi, la formule explicite de Un est : Un = u0 * 2^(2^n-1)
Les résultats obtenus à la question 1 semblent confirmer cette formule explicite (comme le montre mon calcul dans les parenthèses).

La ou j'ai peu confiance dans le résultat est qu'un des exercices suivants évoque la suite obtenue comme une suite géométrique, or à mon sens elle ne l'est pas. Pouvez-vous m'indiquer ou est mon erreur s'il vous plait ?

Merci d'avance pour votre aide !

Black Jack

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Messages : 509

Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour,

Plusieurs choses ne vont pas.

Par exemple si on choisit Uo = 3 (à la place de 4)

On a U1 = 3 * 3/2 = 4,5
Et ta formule donnerait : U1 = u0 * 2^(2^1 - 1) = 3 * 2^1 = 6

Ta formule semble fonctionner ... mais ce n'est pas le cas pour tous les Uo.
Cela fonctionne dans le cas particulier Uo = 4 ... mais pas pour d'autres valeurs de Uo

Pour moi, j'arrive à Un = Uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n) ... qui devrait être OK pour tous les Uo.

Néanmoins, la suite Un n'est pas géométrique.

Kondaurov

Invité

Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour Black Jack, merci pour votre retour !

Vous avez raison de dire que ma formule ne marche pas pour tout u0, en prenant l'exemple de 3.

J'ai l'impression que votre formule ne marche pas pour les itérations n>=2 :
-soit u0 = 3 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 3
u1 = (3^2)/2 = 9/2
u2 = ((9/2)^2)/2 = 10,125

en utilisant votre formule Un = u0^(2^n) * 2^(1-2^n), on devrait obtenir :
u0 = u0^(2^0) * 2^(1-2^0) = 3 (ok)
u1 = u0^(2^1) * 2^(1-2^1) = 9/2 (ok)
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = (9/2)^4 * 2^(-3) = 50,7 /= 10,125

-soit u0 = 4 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 4
u1 = 8
u2 = 32

u0 et u1 ok,
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = 8^4 * 2^(-3) = 512 = u3

C'est possible que j'ai fait une erreur en appliquant votre formule, n'hésitez pas à me reprendre.
Si nos deux formules ne sont pas valides, je ne comprends pas ce qu'il attendait d'une première spé à qui cet exo devait prendre normalement max 10 minutes )

Mais c'est rassurant de lire que la suite n'est pas être géométrique, une erreur de frappe du prof ?

En tout cas merci pour votre aide, je vais conseiller mon élève à se rapprocher de son prof pour obtenir des réponses.

Black Jack

Membre

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Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour Black Jack, merci pour votre retour !

Vous avez raison de dire que ma formule ne marche pas pour tout u0, en prenant l'exemple de 3.

J'ai l'impression que votre formule ne marche pas pour les itérations n>=2 :
-soit u0 = 3 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 3
u1 = (3^2)/2 = 9/2
u2 = ((9/2)^2)/2 = 10,125

en utilisant votre formule Un = u0^(2^n) * 2^(1-2^n), on devrait obtenir :
u0 = u0^(2^0) * 2^(1-2^0) = 3 (ok)
u1 = u0^(2^1) * 2^(1-2^1) = 9/2 (ok)
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = (9/2)^4 * 2^(-3) = 50,7 /= 10,125

-soit u0 = 4 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 4
u1 = 8
u2 = 32

u0 et u1 ok,
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = 8^4 * 2^(-3) = 512 = u3

C'est possible que j'ai fait une erreur en appliquant votre formule, n'hésitez pas à me reprendre.
Si nos deux formules ne sont pas valides, je ne comprends pas ce qu'il attendait d'une première spé à qui cet exo devait prendre normalement max 10 minutes )

Mais c'est rassurant de lire que la suite n'est pas être géométrique, une erreur de frappe du prof ?

En tout cas merci pour votre aide, je vais conseiller mon élève à se rapprocher de son prof pour obtenir des réponses.

Bonjour,

Tu fais des erreurs.

Je corrige :

u0 = 4
u1 = 8
u2 = 32

u0 et u1 ok,
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = 4^4 * 2^-3 = 32

Ce qui est bien correct... Ma formule est OK.

Borassus

Membre

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Re : Erreur que je ne comprends pas

Je suis un professeur particulier de mathématiques pour lycéens.

Bonjour, collègue.  :-)

Bonjour à tous.

Kondaurov

Invité

Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour Black Jack, vous avez raison, j'ai tort !
En recalculant, votre formule marche bien pour les deux valeurs initiales, j'ai été trop hâtif dans mes calculs.

Grâce à un coup de pouce (merci encore si vous lisez ce message!!), la formule générale semble être la suivante :

Un = exp (ln(u0/2)*2^n + ln(2)) obtenue en posant la suite vn = ln(un)

Black Jack

Membre

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Messages : 509

Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour,

Ta dernière formule et la mienne sont équivalentes.

Un = exp(ln(u0/2)*2^n + ln(2))

Un = exp(ln(2)) * exp(ln(u0/2)*2^n)

Un = 2 * exp(ln(u0/2)*2^n)

Un = 2 * [exp(ln(u0/2))]^(2^n)

Un = 2 * (u0/2^(2^n)

Un = uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n)

Personnellement, je préfère la mienne qui ne nécessite ni des ln(), ni des exp() ...  mais question de goût.

Kondaurov

Invité

Re : Erreur que je ne comprends pas

Bonjour Black Jack, maintenant que vous l'avez montré, c'est évident ! J'avoue que je n'ai pas eu votre aisance de calcul pour dresser une forme générale de la suite rapidement, et lorsqu'on m'a soufflé qu'on pouvait s'en sortir en posant une nouvelle suite et se rabattre sur une suite arithmético-géométrique, j'étais content de retomber sur des choses connues. N'en reste-t-il que l'exercice initial n'exigeait vraisemblablement pas de donner la forme explicite, mais c'était un bon exercice ! Merci pour votre aide !