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PhilT1

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inéquation paramétrique

Bonjour

soit l'inéquation [tex](x^2-2).(x^2-3) > (m-2).(m-3)[/tex] à résoudre et discuter selon les valeurs prises par le paramètre m.

Pour [tex]m \geq 1[/tex] je trouve [tex]x \in  ]-\infty;-\sqrt{m}[ \cup ]\sqrt{m};+\infty[[/tex]

Pour [tex]m \in [0;1[[/tex] je trouve  [tex]x \in ]-\sqrt{m};\sqrt{m}[[/tex].

Ca se complique pour m < 0 ; en considérant [tex]\sqrt{-m}[/tex], je ne parviens pas à trouver d'intervalles comme ci-dessus.

J'ai fait un test avec m = -4 ; j'aboutis à une inéquation bicarrée [tex]x^4-5x^2+6 > 42[/tex] ou [tex]x^4-5x^2-36 > 0[/tex], qui me donne comme solutions [tex]x \in  ]-\infty;-3[ \cup ]3;+\infty[[/tex], donc sans lien avec [tex]\sqrt{-m}[/tex]

Merci de m'aider à avancer et terminer

Rescassol

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Re : inéquation paramétrique

Bonjour,

Si $m_1$ et $m_2$ sont symétriques par rapport à $\dfrac{5}{2}$, donc si $m_1+m_2=5$, on a $(m_1-2)(m_1-3)=(m_2-2)(m_2-3)$, donc les solutions sont les mêmes.

Cordialement,
Rescassol

Black Jack

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Re : inéquation paramétrique

Bonjour,

Autre approche

On développe l'inéquation de départ et on arrive à : x^4 - 5x^2 + 6 > m² - 5m - 6

Soit donc : x^4 - 5x² - (m² - 5m) > 0
qui peut s'écrire : (x²-m)(x² - (5-m)) > 0

Si on veut étudier (par exemple) le cas m < 0 (un cas qui te pose problème)
(x²-m) est > 0 et donc il faut que (x² - (5-m)) > 0 , soit : |x| > sqrt(5-m)

Donc les solutions pour m < 0 sont x compris dans ]-oo ; -sqrt(5-m)[ U  ]sqrt(5-m) ; +oo[

Dans le cas particulier où m = -4, les solutions sont donc x compris dans ]-oo ; -3[ U ]3 ; +oo[

A toi, pour les autres cas de valeurs de m... si tu penses que cette approche te convient.

Dernière modification par Black Jack (09-04-2025 09:15:20)

Borassus

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Re : inéquation paramétrique

Bonjour,

Autre façon de voir, si peux me permettre :

Le polynôme $(x^2 - 2)(x^2-3)$ présente un maximum local en 0 d'ordonnée 6, et deux minima locaux en $\dfrac {-\sqrt 3 - \sqrt 2}{2}$ et en $\dfrac {\sqrt 2 + \sqrt 3}{2}$ (symétrie oblige) d'ordonnée $- \dfrac 1 4$ .

Le polynôme $(m-2)(m-3)$ est égal à $6$ en $0$ et en $5$, et présente un minimum en $2,5$ d'ordonnée $- \dfrac 1 4$.

Donc pour $m \in \: ]-\infty ; 0]$, l'inégalité demandée a pour solution $]-\infty \,;\, \alpha_1[ \:\cup\: ]\alpha_2  \,;\, + \infty[$, $\alpha_1$ et $\alpha_2$ étant les solutions de $(x^2 - 2)(x^2-3) - (m-2)(m-3) = 0$.

Pour $m \in \: ]0 \,;\, 2.5]$, l'inégalité demandée a pour solution $]-\infty \,;\, \alpha_1[ \:\cup\: ]\alpha_2 \,;\, \alpha_3[ \:\cup\: ]\alpha_4 \,;\, + \infty[$.

Raisonnement symétrique pour $m$ compris entre $2,5$ et $5$, puis pour $m > 5$.

Bonne journée à tous.

Dernière modification par Borassus (09-04-2025 10:53:21)

PhilT1

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Re : inéquation paramétrique

Bonjour à tous les trois, et merci pour vos interventions qui m'ont été (ou pourront m'être, pour celle de Rescassol) très utiles.

N'ayant pas vu que je pouvais factoriser l'inéquation ramenée en inéquation 'homogène' comme l'a montré Black Jack, je restais bloqué sur des conjectures très générales, et en partie erronées d'ailleurs.

Une fois la factorisation du premier membre 'homogénéisé' validée, j'y voyais plus clair, et levais toutes mes contradictions.

Pour résumer :
Pour m < 0
le premier facteur étant toujours positif, tout dépend du signe du second facteur
[tex]S =  ]-\infty;-\sqrt{5-m}[ \cup ]\sqrt{5-m};+\infty[  [/tex]

Pour m > 5
le second facteur étant toujours positif, tout dépend du signe du premier facteur
[tex]S =  ]-\infty;-\sqrt{m}[ \cup ]\sqrt{m};+\infty[  [/tex]

Pour m [tex]\in[/tex] [0;5]

Tableau de signes indispensable selon que m < 5-m , soit m [tex]\in [0;\frac{5}{2}[ [/tex] ou m [tex]\geq[/tex] 5-m,  soit m [tex]\in[\frac{5}{2};5] [/tex].

On a alors resp.

[tex]S =  ]-\infty;-\sqrt{5-m}[  \cup   ]-\sqrt{m};\sqrt{m}[  \cup  ]\sqrt{5-m};+\infty[[/tex]

ou

[tex]S =  ]-\infty;-\sqrt{m}[  \cup   ]-\sqrt{5-m};\sqrt{5-m}[  \cup  ]\sqrt{m};+\infty[[/tex]

Oui ?

Merci encore à vous tous

Zebulor

Membre expert

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Re : inéquation paramétrique

Bonsoir,
variante : on peut faire un changement de variable type $X=x^2$ dès le départ pour retrouver les résultats de Black Jack..