Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Chacun pense ce qu'il veut.

N'ayant rien d'un matheux, mais plutôt branché physicien...

On peut écrire [tex]f'(x) = \frac{df_x}{dx}[/tex] en considérant [tex]df_x[/tex] et [tex]dx[/tex] comme des infiniment petits (dont les conventions d'écriture des opérations sont identiques à celles des nombres) ,comme c'est maintenant reconnu correct par les mathématiciens depuis les années 1960 avec le développement de l'ANS.

... et par là, l'écriture [tex]\int f(x).dx[/tex] est tout à fait licite. (même si cela gène les profs de Maths)

Ce n'est aussi que mon avis... et je le partage aussi.

Bonjour,

Avec une solution particulière : [tex] y(x) = e^{\alpha x} *  (Q_1(x).cos(\beta.x) + Q_2(x).sin(\beta x))[/tex]

On obtient le système (aux distractions près)  :

[tex]P1(x) = Q_1(x).(a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c) + Q_2(x).(2.a.\alpha . \beta + b.\beta) + Q_1'(x).(a.\alpha + b) + a\beta.Q_2'(x)[/tex] (1)

[tex]P2(x) = - Q_1(x).(2.a.\alpha . \beta + b.\beta) + Q_2(x).(a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c) - a\beta.Q_1'(x) + Q_2'(x).(a.\alpha + b) [/tex] (2)

Si [tex]\alpha \neq \frac{-b}{2a}[/tex], alors [tex]2.a.\alpha . \beta + b.\beta \neq 0[/tex] (car [tex]\beta[/tex], n'est pas nul (sinon le second membre de l'équation de départ n'est pas sinusoïdal)

Si [tex]\beta = \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}[/tex] alors [tex]a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c = \frac{(b-2a.\alpha )^2}{4a}[/tex] ce qui implique [tex]\alpha = \frac{-b}{2a}[/tex]

Ce qui conduit à :

Si [tex]\alpha + i\beta[/tex] n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors on ne peut pas avoir les coefficients de Q1(x) et Q2(x) nuls dans (1) et (2)

... et donc Q1(x) et/ou Q2(x) doivent être de degré n = max{degP1, degP2}

Rien relu.

Bonjour,

Je pense qu'il s'agit de la notion d'approximation affine, ce qui n'est pas clairement écrit dans la question.

Voila alors ce dont il s'agit :

En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine.

[tex]f(x) \simeq f(a) + f'(a)*(x-a)[/tex] est l'approximation affine de f(x) au visage de f(a)

****
Exemple simple:

f(x) = 3x³.ln(x) + x²

On veut, par exemple unne approximation affine de f(x) au voisinage de x = 2.

f '(x) = 9x².ln(x) + 3x² + 2x

f(2) = 24.ln(2) + 4
f'(2) = 36.ln(2) + 16

Aux alentours de x = 2, on a l'approximation affine :

[tex]f(x) \simeq 24.ln(2) + 4 + (36.ln(2) + 16) * (x - 2)[/tex]

[tex]f(x) \simeq (36.ln(2) + 16).x - 48.ln(2) - 28 [/tex]
'''''''''''''''

Dans l'exercice ci dessus, il n'y a pas de difficultés pour une approximation affine de f(x) aux alentours de x = 2 (ou autre valeur > 0 si on veut)

La question, est me semble-t-il celle-ci :

Si la fonction f(x) n'a pas la même valeur de dérivée à gauche et à droite du point aux alentours duquel on désire faire l'approximation affine ... que peut-on faire ?

Bonjour,

On sait que 0 < I < 3/4

Et donc lim(n--> +oo) I^n = ...
et aussi :  lim(n--> +oo) I^(n-1) = ...

Il reste alors une équation du second degré en I dont il faut choisir la solution positive.

Bonjour,

Peut être déjà remarquer que la quantité sous le signe radical est < 0 pour x --> Pi/(2n) par valeurs supérieures à Pi/(2n)

... et que donc seule la limite pour  x --> Pi/(2n) par valeurs inférieures à Pi/(2n) peut exister ... ou non.

Bonjour,

Voir sur ce lien :  https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d%27un_nombre

Extraits : 

"En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que b^n = a, où n est un entier naturel non nul. "

Et il y a l'exemple :

[tex]\sqrt[3]{-8} = -2[/tex]
avec l'explication : En effet − 2 est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à − 8.

Dans cet exemple, on a : a= -8, b = -2 et n = 3 (on a bien (-2)³ = -2 * -2 * -2 = -8)

Bonjour,

On ne peut chercher si la dérivée d'une fonction existe que sur les intervalles où la fonction existe.

S'il s'agit de f(x) = ln(-(x^2)), avec x dans R, alors le domaine d'existence de f est vide... et donc f '(x1) n'existe pas quel que soit x1 dans R.

Le domaine d'existence de f '(x) est obligatoirement "plus petit ou égal" à celui de f(x)
****
Vu autrement :

Le nombre dérivé f(x1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse x1.

Si f(x1) n'existe pas, il n'y a pas de tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse x1 et donc f '(x1) n'a aucun sens.
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Ce n'est que mon avis de non matheux.

Bonjour,

C'est une indétermination du type 0/0.

On peut lever cette indétermination de plusieurs manières, par exemples :

a) Appliquer la règle du génial Marquis (Lhospital) si on la connait, la solution est alors immédiate.

b) changer de variables, par exemple : poser x = t + Pi
La limite devient alors : [tex]Lim_{t\to 0} \frac{1 - cos(t).cos(2t)}{t}[/tex]

... qui est aussi une indétermination du type 0/0, mais qu'on peut lever en utilisant les développements limités en 0 de cos(t) et cos(2t), on trouve alors facilement la limite cherchée.

Bonjour,

Il y a un soucis pour trouver LA primitive sur ]1;4[ U]4;infini[, mais pas celui auquel tu penses.

Une primitive est ln|x²-5x+4|, avec des valeurs absolues (trop souvent "oubliées"), cette primitive est définie sur ]1 ; 4[ et aussi sur ]4 ; +oo[

Mais comme le domaine de définition n'est pas connexe (en un seul morceau), on devrait écrire qu'une primitive est :

F(x) = ln|x²-5x+4| + A sur ]1 ; 4[
F(x) = ln|x²-5x+4| + B sur ]4 ; +oo[

Avec A et B des constantes qui peuvent êtres différentes.

Zut envoi trop rapide, il manque des morceaux, j'explique mes dires précédents :

Ton équation provient de la conservation de l'énergie mécanique.

Lorsque la balançoire (pendule) passe de l'angle theta0 à l'angle theta, le mobile perd de l'énergie potentielle de la quantité :
m*g*delta H = m*g*L(cos(theta) - cos(theta0))

Il y a donc une augmentation d'énergie cinétique équivalente valant : 1/2 * J * w² = 1/2 * m * L² * w² (avec w la vitesse angulaire)

On a donc par conservation de l'énergie mécanique du système : m*g*L(cos(theta) - cos(theta0)) =  1/2 * m * L² * w²

qui après simplification devient : w² = 2g/L * (cos(theta) - cos(theta0))

Et ton erreur est ici ... En tirant w (theta'), tu oublie un +/-

on a [tex]w = \theta ' = \pm \sqrt{\frac{2g}{L}.(cos(\theta)-cos(\theta_0))}[/tex]

Le signe "+" devant la racine carrée est pour la rotation dans le sens anti horlogique et le signe "-" pour la rotation dans le sens horlogique.

Rebonjour,

Il y a, me semble-t-il un soucis avec l'équation telle que donnée.

La vitesse angulaire doit changer de signe en cours de mouvement (puisque oscillations), or comme l'équation est donnée, elle ne peut être que positive (X' = [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5)
Le signe devrait changer à chaque demi période ...

Ce problème n'existe pas si on utilise l'équation plus habituelle que j'ai donné dans mon message précédent.

Bonjour,

On montrant que : [tex]\Delta_1 < 0 \Longrightarrow \Delta_2 > 0[/tex]

on a a fortiori : [tex]\Delta_1 < 0 \Longrightarrow \Delta_2 \geq 0[/tex]

...

Et si on veut, on peut aussi commencer par :

Si [tex]\Delta_1 = a^2 - 4b <= 0[/tex] alors [tex]a <= 2.\sqrt{b}[/tex]
...