Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour la question 5, tu dois étudier le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex], et les questions 1 et 3 devraient t'aider.
Pour la question6, tu peux voir que la suite [tex](u_n)_{n \ge 1}[/tex] est décroissante et minorée, donc convergente. Et pour la détermination de la limite, tu peux utiliser la relation de récurrence au début de l'énoncé, qui doit te faire résoudre une équation du second degré.

Bonjour,

La notation ":=" est utilisée pour désigner une égalité dans le cadre d'une définition. Par exemple :
on définit l'exponentielle par [tex]\displaystyle \mathrm{exp}(z):=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\,\,\forall z \in \mathbb{C}[/tex]

Je suis perdu, je croyais que c'était Alain Ratomahenina le plus grand mathématicien du monde... Il a même été reconnu par Google

Personnellement, je trouve que les coordonnées polaires sont très efficaces dans ce genre de cas : on pose [tex]\tilde{f}(r,\theta)=f(r \,\mathrm{cos}\theta,r \,\mathrm{sin}\theta)=2r^4\mathrm{cos}^2\theta\,\mathrm{sin}^2\theta\,\mathrm{ln}(r)[/tex]
On a [tex]|\tilde{f}(r,\theta)| \le 2r^4|\mathrm{ln}(r)|\underset{r\to 0}{\longrightarrow}0 \,\,\, \forall \theta \in [0,2\pi][/tex], ce qui permet de conclure (f est continue en (0,0)).

Bonjour,

Si ta fonction n'est pas dérivable en un point, tu n'auras pas de DL d'ordre 1 au point considéré, au mieux un DL d'ordre 0 si elle est continue en ce point. En fait, on a les résultats suivants :

Une fonction admet un DL d'ordre 0 en un point si et seulement si elle est continue en ce point.
Une fonction admet un DL d'ordre 1 en un point si et seulement si elle est dérivable en ce point.

Ce n'est plus vrai pour les ordres supérieurs, on n'a qu'une condition suffisante : si une fonction est de classe [tex]\mathcal{C}^n[/tex] en un point, alors elle admet un DL d'ordre n en ce point (et c'est cette implication qui est intéressante en pratique).

Bonjour,

Ça se simplifie en [tex]\sqrt{n}(1-nx^2)[/tex], ce qui doit te permettre de faire l'étude des variations de [tex]f_n[/tex]

Bonjour,

Oui.

Bonjour,

La transformée de Fourier me semble plus adaptée pour la résolution de l'équation de la chaleur.
L'EDP est [tex]\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+\alpha \Delta u=0[/tex] avec comme condition initiale [tex]u(0,.)=u_0[/tex] et [tex]\alpha>0[/tex]
En prenant la transformée de Fourier par rapport à la variable d'espace, l'équation devient :
[tex]\displaystyle \frac{\partial \hat u}{\partial t}+\alpha\|\xi\|^2\hat u=0[/tex]
Tu résous l'équa diff en t, ce qui doit te faire tomber sur le noyau gaussien, et la transformée de Fourier inverse doit te faire trouver u comme convolution de ce noyau avec la condition initiale.

Bonjour,

On a en fait le résultat suivant dû à Abel :
Si pour un [tex]z_0 \in \mathbb{C}[/tex] la suite [tex]\left(a_n z_0^n\right)_{n \in \mathbb{N}}[/tex] est bornée, alors [tex]\forall r \in \Big]0,|z_0|\Big[[/tex] la série [tex]\sum a_n z^n[/tex] converge normalement dans [tex]\bar{D}(0,r)[/tex]

Je ne saisis pas bien ta question sur la croissance stricte. Ou alors tu veux parler de la constante strictement positive?

Bonjour,

Il faut introduire plus de formalisme, car ta formule est incorrecte mathématiquement parlant.
On considère [tex]F(u,v)=f(g(u,v),h(u,v))[/tex] avec [tex]g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] et [tex]h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
La formule que tu cherches à démontrer est la suivante :
[tex]\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(g(u,v),h(u,v)).\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u,v),h(u,v)).\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)[/tex]

On pose [tex]\begin{matrix}\phi:&\mathbb{R}^2&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\ & (u,v)&\longmapsto&(g(u,v),h(u,v)))\end{matrix}[/tex]

On a donc [tex]F=f \circ \phi[/tex]
La matrice Jacobienne de F en (u,v) est donc [tex]J_{(u,v)}F=(J_{\phi(u,v)}f).(J_{(u,v)}\phi)[/tex]

En exprimant directement la matrice Jacobienne de F d'une part, et en calculant le produit de matrices d'autre part, tu dois obtenir la formule en question et aussi l'analogue pour [tex]\displaystyle \frac{\partial F}{\partial v}(u,v)[/tex]

Bonjour,

On trouve dans la littérature les 2 définitions que Fred a données, elle ne diffèrent que d'un coefficient [tex](-1)^n[/tex] (pour une matrice [tex]n \times n[/tex]). Comme dans ton cas [tex]n=2[/tex], les deux sont égales et ton polynôme caractéristique est [tex](X-a)(X-b)[/tex].