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Beubeunoit

Invité

Démonstration dérivée d'une fonction de plusieurs variables

Bonjour,

Je suis en L3 Physique et je voulais savoir si quelqu'un connaissait la démonstration de

[tex]\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}[/tex]

Merci d'avance de votre réponse.

Gui82

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Re : Démonstration dérivée d'une fonction de plusieurs variables

Bonjour,

Il faut introduire plus de formalisme, car ta formule est incorrecte mathématiquement parlant.
On considère [tex]F(u,v)=f(g(u,v),h(u,v))[/tex] avec [tex]g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] et [tex]h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
La formule que tu cherches à démontrer est la suivante :
[tex]\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(g(u,v),h(u,v)).\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u,v),h(u,v)).\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)[/tex]

On pose [tex]\begin{matrix}\phi:&\mathbb{R}^2&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\ & (u,v)&\longmapsto&(g(u,v),h(u,v)))\end{matrix}[/tex]

On a donc [tex]F=f \circ \phi[/tex]
La matrice Jacobienne de F en (u,v) est donc [tex]J_{(u,v)}F=(J_{\phi(u,v)}f).(J_{(u,v)}\phi)[/tex]

En exprimant directement la matrice Jacobienne de F d'une part, et en calculant le produit de matrices d'autre part, tu dois obtenir la formule en question et aussi l'analogue pour [tex]\displaystyle \frac{\partial F}{\partial v}(u,v)[/tex]

Dernière modification par Gui82 (25-09-2022 10:00:30)

Beubeunoit

Invité

Re : Démonstration dérivée d'une fonction de plusieurs variables

D'accord. Merci beaucoup de ta réponse !