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Plus généralement, le cadre mathématique qui englobe les questions que tu te poses est la théorie des ensemble, initiée par Cantor et axiomatisée par Zermelo et Fraenkel. On la désigne par Axiomatique ZF ou ZFC (C pour Choix : avec ou sans l'Axiome du Choix). C'est de la belle Mathématique. David Hilbert a dit : "Personne ne nous expulsera du paradis que Cantor a construit pour nous".

Je sais aussi qu'il y a quelques mathématiciens qui souhaiterait justement expulser les gens de ce paradis ! Il y a notamment un mathématiciens australien, Norman Wildberger, qui souhaiterait qu'on enseigne les mathématiques autrement. Sa chaîne Youtube est très riche et je trouve ses cours très intéressants. Il appelle les gens qui utilisent les infinis de Cantor "les croyants" !!
Il revisite tout en s'interdisant d'utiliser le matériel issu des infinis de Cantor : pas de nombres réels, uniquement les rationnels, pas de notion de distance (la distance requiert de la racine carrée, donc une série infinie, il utilise la notion de "quadrant" : [tex](x-y)^2[/tex]), pas de notion de continuité, de dérivabilité, ...
Ce qui est impressionnant, c'est la quantité de résultats qu'on peut montrer avec ces contraintes.

Bonjour,
J'ai plusieurs remarques

1) Dans ta définition de la limite, on peut simplifier en demandant que pour tout [tex]\epsilon[/tex], il existe un [tex]n[/tex] tel que [tex]\epsilon \subset x_n[/tex]. Comme la suite est croissante, l'inclusion dans les autres [tex]x_N[/tex] pour [tex]N > n[/tex] est déjà garantie.

2) Ta bijection [tex]\pi[/tex] ne me semble pas bien définie. Dans le monde de la programmation, tu as utilisé ce qu'on appelle un effet de bord (les variables MIN et CHOISIS sont modifiées après chaque invocation). Si j'utilise la séquence [tex]\pi(20)[/tex] puis [tex]\pi(4)[/tex], je n'ai aucune garantie d'obtenir les mêmes valeurs que si j'avais d'abord commencé dans l'ordre [tex]\pi(4)[/tex] puis [tex]\pi(20)[/tex]. Dans un pur langage fonctionnel (type Haskel), on ne pourrait pas coder cette "fonction" (sans effet de bords je veux dire). Mathématiquement, la notion de "nombre aléatoire" est en réalité, comme son nom ne l'indique pas, une fonction [tex]X: \Omega \to \mathbb{N}[/tex] où [tex]\Omega[/tex] représente l'ensemble de tous "les états du monde" (plus de détail ici sur Bibm@ath). Ta fonction [tex]\pi[/tex] est donc un peu plus compliquée qu'une simple permutation de [tex]\mathbb{N}[/tex]

3) Je pense qu'une approche alternative est de considérer une bijection quelconque de [tex]\mathbb{N}[/tex], et de montrer que la suite telle que construite "tend" vers [tex]\mathbb{N}[/tex] (au sens de ta définition). La démonstration n'est pas très compliquée : il suffit de considérer l'ensemble [tex]\pi^{-1}(\epsilon')[/tex] où [tex]\epsilon' = \{1,2,\cdots,\max(\epsilon)\}[/tex] et de prendre sa borne supérieur (qui existe car [tex]\epsilon[/tex]  est fini, donc [tex]\epsilon'[/tex] est fini, et donc [tex]\pi^{-1}(\epsilon')[/tex] aussi). Le fait que [tex]\pi[/tex] soit quelconque englobe en réalité ta tentative avec les nombres aléatoires.

4) tu peux maintenant essayer de généraliser en considérant non plus l'inclusion (on se fiche pas mal des éléments de chacun des [tex]x_n[/tex]) mais l'existence d'une injection [tex]x_n \hookrightarrow x_{n+1}[/tex]. En généralisant encore plus (tu "réduis" chacun des [tex]x_n[/tex] à son cardinal), tu arrives au fait qu'une suite croissante d'entiers non bornée tend vers l'infini.

Bonjour,
Je tenterai un explication qui est peut être trop vague. Je resterai dans le cadre de [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Sachant que la définition rigoureuse concerne des variétés différentielles quelconques, qui localement "ressemblent" à [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
Si je commence par le cas unidimensionnel. La différentielle d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], notée [tex]d_a f[/tex] est l'application affine (de la forme [tex]\alpha + \beta h[/tex]) qui "approxime" le mieux la fonction au voisinage de ce point, c'est à dire en [tex]f(a+h)[/tex] pour [tex]h[/tex] petit. Quand [tex]f[/tex] est dérivable en [tex]a[/tex], c'est la fonction [tex]d_a f(h) = f(a) + f'(a)h[/tex]. On écrit alors que [tex]f(a+h) = d_a f(h) + o(h)[/tex].

Lorsque [tex]a[/tex] varie, la différentielle [tex]d_a f[/tex] varie également. La 1-forme différentielle est donc cette application qui à chaque [tex]a[/tex] fait correspondre [tex]d_a f[/tex], on la note alors [tex]df[/tex].

Lorsqu'on passe en dimension supérieure, le concept reste inchangé. Au lieu d'approximer une courbe par la tangente, on approxime une surface par le plan tangent, etc.

apoi,

Pour rendre les choses un peu plus claire, il faut d'abord revenir à la définition de la dérivée d'une fonction [tex]f(x)[/tex] en [tex]x_0[/tex] : [tex] f^{'}(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/tex].

Donc, si on note [tex]\psi(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f^{'}(x_0)[/tex], alors [tex] \lim_{x\to x_0}\psi(x)=0[/tex].
En réécrivant différemment, on obtient [tex]f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) + \psi(x)(x-x_0)[/tex] avec [tex] \lim_{x\to x_0}\psi(x)=0[/tex].

On peut donc appliquer ce développement à la fonction [tex]arctan(u)[/tex] en [tex]0[/tex] ([tex]arctan(0)=0[/tex] et [tex]arctan^{'}(0)=1[/tex]) et cela donne [tex]arctan(u)=u + \psi(u)u, \lim_{u\to 0}\psi(u)=0[/tex], on peut donc en déduire que [tex]\lim_{u\to 0} \frac{1}{u}(arctan(u)-\frac{\pi u}{2}) = 1-\frac{\pi}{2}[/tex].

En suivant le conseil donné par totom et freddy (utilisation de l'identité [tex]arctan(x) + arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}[/tex] et du changement de variable [tex]u=\frac{1}{x}[/tex]) tu pourras arriver au résultat demandé.

Bonsoir,
En essayant de formaliser ma solution, je me suis rendu compte qu'elle était incorrecte (je partais avec la même idée que jdec sur le périmètre, et je pensais à tort avoir trouvé un bon majorant pour le périmètre)
Je n'ai donc malheureusement pas de solution plus simple que ce qui est proposé dans le lien donné par jdec (réponse ici également, en français).
Je pense que je n'aurais pas posé cet exo si j'avais repéré mon erreur avant (la solution utilisant les matrices circulantes et la diagonalisation me parait trop complexe pour cette rubrique).

Désolé.

Salut,
Ci-après un exemple intéressant :

On voit que le polygone obtenu, à une homothétie près, est exactement le même que le polygone de départ. ça permet d'illustrer la diversité des cas.

Re

Il me semble que c'est la même chose.
Voir la définition de "Base de voisinage" sur Bibm@th ici.
La définition de "Système fondamental de voisage", que je ne connaissais pas avant, est la même. Voir par exemple sur Wikipedia.

Bonjour,
As-tu essayé de regarder le comportement de la fonction réciproque, à savoir la fonction tangente, entre -1 et 1 ?
Est-elle croissante ? décroissante ?
Comment se comporte une inéquation quand on applique une fonction croissante (décroissante) aux membres de l'inéquation ?

Bonsoir Fred,
Merci pour le retour.
Cela dit, il semblerait que ce qui est réfuté, ce n'est pas que R ne soit pas dénombrable (il existe d'autres preuve, celle-ci par exemple page 10), mais plutôt dans la démarche même. Cf ce lien what-if-cantors-proof-is-wrong, qui lui même donne 4 liens vers des réfutations. Je ne suis pas suffisamment calé pour juger ces arguments.