Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir.

           si [tex]n = \frac{p\times{(p + 1)}}{2}[/tex]  exemple [tex]n = 28[/tex]  alors je remplis B 

           jusqu'à  [tex]P_8[/tex] afin d'avoir [tex]n - p = 4N[/tex] .  et je dois avoir [tex]B = n    à   P_8[/tex]

           je dois donc placer [tex]2    puis    6    A --> C[/tex] puis de C , je renvoie [tex]7    de  C --> B[/tex]

        alors  [tex]à  P_8 , n = 28 = 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8     ,   C = 2 + 6 - 7 = 1   et  A = 2n[/tex]

       puis de [tex]P_9  --> P_n[/tex] le transfert entre  B  et A  s'opère comme ceci:

        [tex]28 + 9 - 10 +11 - 12 + 13 -14 .... + 17 {\color{red} - 18 - 19} + 20 -21 ... {\color{blue} - 27(->C)} + 28 = 28[/tex]

            N.B.   les nombres en rouge sont au centre de la série :

[tex]S  = + 5 \times{ \left[(9 + 28)+(11 + 26)+(13+24)+(15+22)+(17+20)\right][/tex]

[tex]-5\times{\left[(10+27)+(12+25)+(14+23)+(16+21)+(18+19)\right] = 0[/tex]

Bonjour

   
           autre  ex. [tex]n = 499[/tex]

               première phase : je remplie B  jusquà [tex]n + d   avec   d = \frac{p\times{(p+1)}}{2} - n[/tex]

                                         je placerai  [tex]1   de A --> C   et  d-1   de  B --> A[/tex]

                  dans ce cas [tex]n = 499 = \frac{32\times33}{2} - 29[/tex]
   
               
               ainsi à [tex]P_{32}   B = 2 + 3 + 4 + 5 +..... {\color{red} - 14} ... +27 +28 ... + 32 = 499 =n  , C = 1[/tex]
             
             
               seconde phase:  [tex]499 - 32 = 467  étapes  =  1 + 4\times{116} + 2\times{2}[/tex]
               en procédant comme ceci : [tex]- 33 - (116\times{533}) + (116\times{533}) + 266 + 267[/tex]
         
[tex]B = 499 - 33  \left[- 34 + 35 - 36 ..-264 + 265 {\color{blue}+ 266} axe {\color{blue}+ 267} + 268 - 269 .. {\color{red}-497}+498 - 499\right] = 499   avec   497  A -> C  ,  498   C -> B   et 499  B -> C[/tex] 

   Ainsi à [tex]P_{497}[/tex] on a [tex]B = 500    A = 499   et  B = 498[/tex]

et à [tex]P_{499} --> B = A = C = 499[/tex]

Bonjour

          je maintiens l'empilement de l'urne B jusqu'à [tex]n[/tex] et selon la parité de  [tex]a[/tex] je

          place  1  ou  2 dans  l'urne C  . Lorsque , à [tex]P_i[/tex] j'ai [tex]B = n[/tex] j'applique la formule de

           Pascal  . Je donnerai des exemples ce soir et essaierai de généraliser.

                                                                                              à plus

Bonsoir

          j'ai remarqué que [tex]1 + 2 = 3[/tex]
                                 ensuite           [tex]4 + 5+ 6 = 7 + 8[/tex]
                                                                                    [tex]9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15[/tex]
          on peut donc s'en servir par exemple pour [tex]n = 12   et  n = 16[/tex] par exemple

      [tex]n = 16 -->\begin{cases}P&0--1--2--3--4--5--6--7--8--9--10--11--12--13--14--15--16\\B&0--1--1--4--0--0--0--0--0--0--0---0--0--0---0---0--16\\A&48-47-45--42-42-37--31--38-46-37-27---16--4--17--31--16--16\\C&0--0--2--2--6--11-17--10--2-11-21--32--44--31--17--32--16\end{cases}[/tex]

re 

  avec [tex]n = 12[/tex]

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----36-----0\\P_1&1<----35-----0\\P_2&3<----33-----0\\P_3&0-----33--->>3\\P_4&4<----29-----3\\P_5&9<----24-----3\\P_6&15<----18-----3\\P_7&22<----11-----3\\P_8&30<----3-----3\\P_9&21-----3--->>12\\P_{10}&11---->13-----12\\P_{11}&0---->24-----12\\P_{12}&12<----12-----12\end{cases}-----n = 16-->\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----48-----0\\P_1&1<----47-----0\\P_2&3<----45-----0\\P_3&6<----42-----0\\P_4&2-----42--->>4\\P_5&7<----37-----4\\P_6&1---->43-----4\\P_7&8<----36-----4\\P_8&16<----28-----4\\P_9&25<----19-----4\\P_{10}&15---->29-----4\\P_{11}&26<----18-----4\\P_{12}&14-----18--->>16\\P_{13}&1---->31-----16\\P_{14}&15<----17-----16\\P_{15}&0---->32-----16\\P_{16}&16<----16-----16\end{cases}[/tex]

Bonjour           voilà , je pense que   si [tex]P_1 + P_2 +.......P_{(n-1)} = a\times{n} + r[/tex]

            si [tex]a[/tex] est impair, alors je place uniquement   2  puis  r-1  pour faire  r+1  dans l'urne C 

               en ayant pris soin de  basculer [tex]r  de  C--> B  si   a[/tex]    est impair   afin qu'il ne reste plus que 1  dans C.

            à  (n-1)    on place  n-1  dans C  qui donne n dans C     2n   dans  A  ou  B

          EX. [tex]n = 12  -->  - 3n = - 1{\color{red} - 2} - 3 + 4 {\color{red}- 5 + 0} - 7 + 8 - 9 - 10{\color{red} - 11} = - 36[/tex]   les transferts en rouge concernent l'urne C

          pour généraliser la méthode avec [tex]a[/tex] impair j'alterne entre A et B  de façon à avoir un bloc

         [tex]i\times{(n - n)}[/tex] placé en symétrie de part et d'autre de l'axe [tex]P_r[/tex]

          dans ce cas ou [tex]n = 12[/tex]  tout est symétrique sauf les lignes:

           [tex]1  + 6 + 7 + 10      = 24[/tex] en faveur de B

               [tex]2 + 5 - 6 + 11  = 12[/tex]  en faveur de C

             Mais ces lignes là son facilement repèrables.

re 

  Avec un grand nombre comme [tex]n = 500 ->  -n = -\frac{33\times{34}}{2} + 61 = -561 + 61[/tex]

       à [tex]P_{33}  -->  B = 559  ---- C = 2[/tex]

         entre [tex]P_{33}    et   P_{61}[/tex] j'effectue 28 navettes entre [tex]B  <------>  C[/tex]

         pour avoir à [tex]P_{60}     B=512     A=939     C= 49[/tex] 

                         à [tex]P_{61}    B = 451     A = 1000  C = 49[/tex]

  après 98 navettes donc de [tex]P_{62}  à  P_{159}    B = 500     A = 1000   C = 0[/tex]

     mais pour avoir à nouveau[tex]P_{499}  B=500     A=1000       C= 0[/tex]  j'applique la formule de Pascal alternée entre B et A

     entre [tex]P_{159}  et  P_{499}[/tex]il y a [tex]340 = 4\times{85}[/tex] étapes

     alors  [tex]A = 1000 + 160 - 161 +162....... - 329 - 330 + 331 -332  .... + 499 = 1000[/tex]

          puis à [tex]P_{500}  B = A = C = 500[/tex]

            pour un nombre comme [tex]n = 502[/tex] j'effectue une navette de moins soit 27 navettes

            et donc dans le dernier bloc j'aurais donc 2 lignes de plus au départ + les lignes 500 et 501 qui

            donneront donc 4 lignes supplémentaires et mon bloc sera de [tex]4b = 4\times{86} = 344[/tex]  lignes
            Donc la stratégie fonctionne toujours . j'essaierai ce soir les grands nombres impairs. 

                                                                                           à plus.

re

   pour un nombre comme [tex]n = 13[/tex],   à    [tex]p = 8[/tex]      on a       [tex]13  -  26  -  0[/tex]

   il faut appliquer un bloc (0)   avec  entre les 2 urnes  B = n   et  C = 2n   pour avoir de nouveau à

   [tex]p = 12 = n-1      -n =  -n +9 -10-11+12 = -n[/tex]

    ainsi  pour [tex]n = 13  --> -n = \frac{6\times{7}}{2} + 8 +(9-10-11+12)[/tex]

     [tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a.n = 6n[/tex]  ou  [tex]a[/tex]est pair . j'ai donc balancé [tex]1 --> C[/tex]

Bonsoir
            Personnellement, si j'en ai le droit , j'opterais pour la stratégie suivante:

             je n'ai pas vu qu'il était interdit de déplacer les coffres. sinon ma stratégie tombe à l'eau.

            s'ils ont un minimum de temps de réflexion ils copient tous la meme liste : dupont ->n°1,durant->n°2

            martin->n°3....duval->n°2n

            ainsi , dupont , le n°1 rentre dans la salle des coffres et ouvre n coffres qu'il aligne dans le meme
   
             ordre que les noms figurants sur leur liste et en laissant les places des  noms manquants

             il a donc 50/100 de chance. avant de quitter la pièce,
            il place les n derniers coffres à la suite des n premiers examinés.

            ensuite le second , au pire ouvre les n-1 derniers qu'il va intercaler correctement dans les n premiers

             puisque sur la liste , à chaque nom , on a affecté un numéro.

             mais s'il a ouvert le coffre "Durant -> n°2" , Durant le saura

             quand vient le tour de Durant, il va bien entendu ouvrir son coffre  puis (n-1)coffres
             parmi les  n derniers             lorsque le premier est passé il laisse au second la configuration suivante:

             dupont. durant. ---- titi ----  ----  toto. tata ---- ect....  n(tyty)(n+1).(n+2)....2n

             si bien que si le premier a tiré les 2 premiers noms , le second saura retrouver son nom.

             il bouchera les trous dans les rangs et pourra meme placer le dernier sans l'ouvrir. et tous les autres

             sauront retrouver leur coffre.

               finalement plus n est grand plus leur chance se rapproche de 50/100 par valeur inférieure

Bonjour

             En fait jusqu'à l'étape[tex]P_{\frac{n}{2}-1[/tex] ou [tex]B = \frac{n.(\frac{n}{2}-1)}{4}-2-s = \frac{n}{4}[/tex]

             on obtient [tex]s = \frac{n^2 - 4n - 16}{8}[/tex]

            pour [tex]n = 12  --> s = 10    et  B_{(P_{\frac{n}{2}-1})} = \frac{6\times{5}}{2}-2-10 = 3 =\frac{n}{4}[/tex]

            pour [tex]n = 16  --> s = 22   et  B_{(P_{\frac{n}{2}-1})} = \frac{8\times{7}}{2}-2-22 = 4 = \frac{n}{4}[/tex]

            pour [tex]n = 500   à      P_{15} --> B = 118[/tex]  à [tex]P_{249} --> B = 125[/tex]

            entre [tex]P_{15}   et   P_{249}[/tex] il reste  234 transferts et 7 boules à ajouter à B

            donc [tex]3\times{bloc_2(+1)} + 1\times{bloc_4(+4)} + 56\times{bloc_4(0)}[/tex]

             pour avoir à [tex]P_{249} --> B = 125[/tex]

              ensuite ce sont les memes va et vient qu'au poste #114

Bonsoir

            pour les nombre pairs  de la forme:
--------------------[tex]\frac{n.(n+1)}{2} = an + r[/tex] avec [tex]a = r[/tex]pairs ----------------------------------------- avec  [tex]a = r[/tex] impairs

  [tex]n = 12-->\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----36-----0\\p_1&1<----35-----0\\p_2&1-----33---->2\\p_3&4<----30-----2\\p_4&8<----26-----2\\p_5&3-----26--->>7\\p_6&9<<---26-----1---axe\\p_7&2---->33-----1\\p_8&10<----25-----1\\p_9&1---->34-----1\\p_{10}&11<----24-----1\\p_{11}&0-----24--->>12\\p_{12}&12<----12-----12\end{cases}n = 14\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----42-----0\\p_1&1<----41-----0\\p_2&1-----39---->2\\p_3&4<----36-----2\\p_4&8<----32-----2\\p_5&3---->37-----2\\p_6&3-----31---->8\\p_7&10<<---31-----1--axe\\p_8&2---->39-----1\\p_9&11<----30-----1\\p_{10}&1---->40-----1\\p_{11}&12<----29-----1\\p_{12}&0---->41-----1\\p_{13}&0-----28---->14\\p_{14}&14<----14-----14\end{cases}[/tex]

Bonsoir

             j'ai une sratégie qui a l'air de fonctionner

              je commence par les nombres impairs. 

              En fait il faut faire en sorte de ne transférer en absolu que [tex]2 + (n-2)[/tex] de l'urne A vers

              l'urne B  . Tous les autres transferts qui sont des navettes entre A et B totalisent [tex]0[/tex]

             je commence à débiter A --> B  d'une quantité [tex]\frac{p.(p+1)}{2}-2[/tex]. cette quantité

             va devoir retourner dans l'urne A via un système de va - et - vient de [tex]p+1    à  n-2[/tex] compris

             que je balance de B --> C

              Pour trouver [tex]p[/tex]  il faut résoudre l'équation [tex]\frac{p.(p+1)}{2} = \frac{n - 2 - p}{2}[/tex]

               c'est à dire  [tex]p^2 + 2p - n - 2 = 0[/tex] . par exemple pour [tex]n = 13 --> p = 3[/tex]