Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Le triangle isocèle.

Bonsoir.

           Voilà :  un triangle isocèle [tex]ABC[/tex]  de cotés  [tex]AB = BC = x       AC = x^2[/tex]

                      soit [tex]\complement[/tex] son cercle inscrit .

                     je trace une tangente à ce cercle. Elle coupe [tex]AB   en   M    et   AC    en    N[/tex].

                      Je mesure le périmètre du triangle [tex]AMN[/tex] .  je constate que [tex]p = x + 1[/tex]

                      Question:  quelle est la valeur de l'angle [tex]\widehat{B}[/tex]

jpp

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Re : Le triangle isocèle.

Bonsoir.

            Pour calculer un angle, on a besoin de connaitre soit d'autres valeurs angulaires, soit une ligne

            trigonomètrique. Et pour connaitre cette dernière , 2 grandeurs. On peut aussi regarder de plus

            près la construction d'un cercle inscrit dans certains polygones , meme irréguliers.

            Et ça doit pouvoir aider.

                                                                                         à plus.

Dillon

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Re : Le triangle isocèle.

Bonsoir

Ça doit faire  [tex]2\,Arc\sin \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)[/tex] , c'est à dire 108° tout pile.

J'ai utilisé une remarque toute simple au départ, dont je me sers 3 fois, ça donne une équation qui se résoud en quelques lignes. Je n'ai pas utilisé de considération particulière sur la construction des cercles inscrits.

S'il y en a que ça intéresse, je pourrai joindre une figure et le détail de ma démarche

Dernière modification par Dillon (17-06-2011 09:09:03)

totomm

Invité

Re : Le triangle isocèle.

bonjour,

il suffit peut-être de prendre le coté BC comme tangente particulière !

jpp

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Re : Le triangle isocèle.

Salut à tous.

                  Pour trouver la réponse que nous a donnée Dillon, il suffit d'appliquer une formule valable

                  pour tous les triangles  .

                  Si par exemple j'ai devant les yeux un triangle ABC  et que je trace son cercle inscrit

                  puis je trace ensuite une tangente MN à proximité de A , une tangente OP à proximité de B et

                  enfin une tangente QR à proximité de C ; alors si je mesure les périmètres des 3 triangles

                  AMN , BOP et QRC  :  p1 = 2 , p2 = 4 et p3 = 6 , je peux en déduire que ABC

                 est un triangle  3_4_5  par exemple.

                 Dans mon problème j'ai juste ajouté 2 impératifs qui sont l'égalité de 2 cotés et la formulation

                de 2 longueurs : p et AC

                 Mais je suis preneur de toute autre solution.

                                                                                               à plus

Dillon

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour

Voici comment j'ai résolu le problème :

[tex]AF[/tex] et  [tex]AH[/tex] étant deux tangentes au même cercle en  [tex]F[/tex] et  [tex]H[/tex], on a [tex]AF=AH[/tex]
Pour la même raison, [tex]MF = MD[/tex] et [tex]ND = NH[/tex]
Cela nous permet de recalculer le périmètre du triangle [tex]AMN[/tex] :

[tex]p=AM + MN + NA[/tex]

[tex]p=AM+MD+DN+NA[/tex]

[tex]p=AM + MF + AN + NH = AF + AH = 2 \times AH[/tex]

Remarquons que jusqu'ici il n'est pas question des points [tex]B[/tex] et [tex]C[/tex]. Le périmètre du triangle [tex]AMN[/tex] ne dépend que de la longueur de [tex]AH[/tex], même pas du choix de la tangente [tex]MN[/tex]
Notre triangle étant isocèle (on y vient quand même) :
[tex]p=x+1=2 \times AH = AC = x^2[/tex]
[tex]x+1= x^2[/tex] équation classique qui conduit au nombre d'or : [tex]x=\frac {1+\sqrt 5} 2[/tex]

finalement
[tex]\widehat {ABC} = 2 \times \widehat {ABH} = 2 \times Arc sin\left( \frac {AH}{AB} \right) = 2 \times Arc sin\left( \frac { \frac{x^2} 2 }{x} \right)=2 \times Arc sin\left( \frac x 2 \right)=2 \times Arc sin\left( \frac {1+\sqrt 5}{4} \right)[/tex]

jpp

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Re : Le triangle isocèle.

Bonsoir Dillon.

                 Et merci pour ton dessin. _ j'en ai réalisé un avec la solution sur geolab mais je ne sais pas

                 comment l'intégrer dans une discussion.

                 Maintenant en revenant à ton dessin si tu rajoutes [tex]G[/tex] le point de tangence du cercle

                 avec[tex]BC[/tex] alors [tex]FB = GB    et   GC = HC[/tex]

                  si le triangle était quelconque , on aurait toujours cette relation: [tex]p_{AMN} = AB + AC - BC[/tex]

                  Et comme j'y ai rajouté une contrainte : [tex]AB = BC    ===>  p_{AMN} = AC = x + 1 = x^2[/tex]

                   finalement il me restait à formuler de 2 façons différentes les deux memes longeurs [tex]p  et AC[/tex]
                                                                                             à plus.

yoshi

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Re : Le triangle isocèle.

Re,

j'en ai réalisé un avec la solution sur geolab mais je ne sais pas

                 comment l'intégrer dans une discussion.

1. Limiter la taille
2. N'utiliser la couleur que si c'est nécessaire, choisir le format .jpg ou .png, par ex,
3. Se rendre sur le site d'un hébergeur d'images gratuit :
    casimages.com, hiboox.com, imagik.fr, imageshack.us
   certains demandent une inscription préalable, d'autres non (casimages, imagik,  imageshack...)
4. Depuis ta machine, uploader (envoyer) ton fichier chez l'hébergeur via un bouton Parcourir qui va le rechercher sur ton disque dur.
Relever l'adresse correspondante à un affichage sur forum et l'insérer dans ton texte :
Voilà comment cela se présente dans le post de Dillon :

[img]http://img202.imageshack.us/img202/5935/isocelejpp.gif[/img]

@+

jpp

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour.
                et merci Yoshi.  mais je dois avouer que sans ma fille , je n'y serais pas parvenu. je lutte un peu

                beaucoup , meme.

               ceci est un triangle quelconque. mais le principe reste le meme.

 

yoshi

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Re : Le triangle isocèle.

Salut jpp,

J'ai édité ton post et modifié ton code dans le sens de la simplification.
J'avais bien montré le code de Dillion : on ne garde que l'adresse entre les balises img...
Personnellement, j'utilisais imageshack.us avant, et maintenant je fais avec casimages.com : c'est plus simple et il est plus rapide.
Va voir http://www.casimages.com et tu devrais être édifié...

@+

totomm

Invité

Re : Le triangle isocèle.

Chers amis,

C'est très joli et développé, mais tout simplement (et facilement)
BC convient comme tangente donc x²+2x = x+1 !!
Les belles solutions sont les plus simples...

Dillon

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour tout le monde et totomm en particulier

Tout d'abord, j'ai volontairement beaucoup développé pour laisser le moins de zones d'ombres possible dans ma démarche. Trop de raccourcis (même s'il faut bien en faire) nuit à la compréhensibilité.

As-tu remarqué que ta solution n'est pas la même que la nôtre ? Normal, tu as pris ta tangente de l'autre côté du cercle par rapport au point A. Ce qui est a priori légitime, l'énoncé ne précisant rien à ce sujet.

Ce qui me gêne c'est ton postulat "BC convient comme tangente". Ah bon ? Et pourquoi ? Parce que comme l'énoncé ne précise pas où la tangente est prise, on peut prendre n'importe laquelle ? Mais l'énoncé ne précise pas non plus la valeur de x, pourquoi ne pas la fixer arbitrairement ? Il me semble qu'il y a là un problème de raisonnement.
Tu vas me dire : l'énoncé parle de LA valeur de l'angle, c'est donc qu'elle est unique, et le choix d'un cas particulier judicieux simplifie la résolution. C'est le principe de beaucoup de casse-têtes.
Mais...
En prenant la tangente sur l'arc de cercle où tu l'as pris, si tu déplaces le point de tangence, tu fais varier le périmètre de AMN, alors que sa fixité était la clé de notre solution. Par exemple,si tu amènes ta tangente à être presque parallèle à AB ou à AC, l'un des points M ou N s'en va vers l'infini... La valeur de x change, l'angle B aussi.

On va donc conclure que dans un cas de figure la valeur de l'angle B dépend de la tangente choisie, dans l'autre non. Et dans le cas que tu as retenu, où la solution dépend de la tangente, on peut aussi bien fixer a priori (comme je l'imaginais plus haut) la valeur de x (dans un domaine donné...), et là le problème devient encore beaucoup plus simple. On peut peut-être même trouver la valeur de B que l'on veut entre 0 et 180°.

Je soumets la question à ceux que ça intéresse : quelles sont les valeurs de x admissibles ? Quelles valeurs peut -on ainsi atteindre pour l'angle B ?

Et méfiez-vous des solutions trop simples et des explications trop courtes ^^

jpp

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour.

            Pour en revenir à cette histoire de tangente, je l'avait définie comme ceci:

            elle coupe AC en M  et AB  en N . Donc elle devait se trouver dans la zone ou Dillon et moi l'avions

             placée sur nos dessins.

             Maintenant, personnellement si j'avais eu à choisir une tangente particulière, j'aurais pris AF  ou AH

             sur le dessin de Dillon ou ma roulante MN va réduire [tex]AMN     donc    p    à    2AH = 2AF = x + 1=x^2[/tex]

                                                                                     à plus.

Dernière modification par jpp (20-06-2011 17:38:06)

Dillon

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour

elle coupe AC en M  et AB  en N...

Oui, mais on ne sait pas très bien (en tous cas moi je ne sais pas très bien) si AC et AB désignent des segments ou des droites. Donc la position de la tangente de totomm est quand même a priori acceptable.

yoshi

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Re : Le triangle isocèle.

Bonjour,

Oui, mais on ne sait pas très bien (en tous cas moi je ne sais pas très bien) si AC et AB désignent des segments ou des droites. Donc la position de la tangente de totomm est quand même a priori acceptable.

Aaahhh.... tu me tends une perche.

Quand je prône le respect des notations mathématiques, je passe pour un emmerdeur : ah bah, faut se concentrer sur le fond, c'est plus important. ;-)
Alors, rappel :
AB désigne une longueur
[AB] désigne un segment
[AB) désigne la demi-droite d'origine A passant par B
(AB) désigne la droite passant par A et par B

Ainsi, plus de doute possible.

@+

totomm

Invité

Re : Le triangle isocèle.

Bonjour,

Je pensais bien que yoshi allait se manifester, et j'en suis un peu ravi...

Bon, ce qui m'intéressait était de dire qu'il y avait plusieurs solutions et de souligner (mais je l'ai fait sans précaution)
la différence entre x²=x+1 et x²+2x=x+1 : les racines positives sont inverses comme c'est quasi toujours le cas quand on traite du nombre d'or : Normal, le nombre d'or vient d'un rapport, ou de son inverse....

Cordialement