Les vases communicants ...

jpp · 06-06-2011 19:39:00

Bonsoir

j'ai remarqué que [tex]1 + 2 = 3[/tex]
ensuite [tex]4 + 5+ 6 = 7 + 8[/tex]
[tex]9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15[/tex]
on peut donc s'en servir par exemple pour [tex]n = 12 et n = 16[/tex] par exemple

[tex]n = 16 -->\begin{cases}P&0--1--2--3--4--5--6--7--8--9--10--11--12--13--14--15--16\\B&0--1--1--4--0--0--0--0--0--0--0---0--0--0---0---0--16\\A&48-47-45--42-42-37--31--38-46-37-27---16--4--17--31--16--16\\C&0--0--2--2--6--11-17--10--2-11-21--32--44--31--17--32--16\end{cases}[/tex]

Dernière modification par jpp (06-06-2011 23:11:34)

jpp · 08-06-2011 06:04:29

Bonjour.

Je vais regarder de plus près cette série " semi alternée" si on peut appeler ça comme ça et qui donne

toujours une meme valeur pour B selon la parité de [tex]a[/tex] et qui a l'air de fonctionner sur des

petits nombres.

[tex]1 ou 2 +4+5-6 +7+8-9 +10+11-12 +13+14-15 +16+17-18 ....[/tex]

[tex]1 ou 2 +3 +6 +9 +12 +15 ....[/tex]

à plus.

jpp · 09-06-2011 06:09:34

Bonjour

je maintiens l'empilement de l'urne B jusqu'à [tex]n[/tex] et selon la parité de [tex]a[/tex] je

place 1 ou 2 dans l'urne C . Lorsque , à [tex]P_i[/tex] j'ai [tex]B = n[/tex] j'applique la formule de

Pascal . Je donnerai des exemples ce soir et essaierai de généraliser.

à plus

Dernière modification par jpp (09-06-2011 06:10:01)

jpp · 09-06-2011 18:58:01

Bonsoir.

il y aurait à mon avis 4 types de nombres.

a) les pairs de la formes [tex]n = 4N[/tex]
b) les impairs de la forme [tex]n = 4N -1[/tex]
c) les pairs de la forme [tex]n = 2N[/tex]
d) les impairs de la forme [tex]n = 2N - 1[/tex]

a) ex. [tex]n = 500[/tex]

première phase : je remplie B jusquà [tex]n + d avec d = \frac{p\times{(p+1)}}{2} - n[/tex]

je placerai [tex]2 de A --> C et d-2 de B --> A[/tex]

dans ce cas [tex]n = 500 = \frac{32\times33}{2} - 28[/tex]

ainsi à [tex]P_{32} B = 1 + 3 + 4 + 5 +..... {\color{red} - 13} ... +27 +28 ... + 32 = n , C = 2[/tex]
n.b. pour trouver [tex]32 ---> 2n = 1000 --> \sqrt{1000} \approx31.6[/tex]

je prend l'entier supérieur.

seconde phase: [tex]500 - 32 = 468 = 2 \times{2}\times{117}[/tex]
en procédant comme ceci : [tex]- (234\times{533}) + (234\times{533})[/tex]

si je n'ai pas [tex]4N[/tex]paires en seconde phase il est toujours possible de prolonger la
première phase en n'oubliant pas de retourner l'excédant à [tex]n + 2 --> A[/tex]

[tex]B = 500 - 33 + 34 - 35 + 36 ....... + 266 axe sym. + 267 - 268 + 269 ....+ 497 {\color{red}-498}+499 - 500 = 500 et 498 --> C[/tex]

ainsi [tex]à P_{500} --> B = A = C = 500[/tex]

je peux donner ainsi la valeur de B à [tex]P_i[/tex]

entre [tex]P_2 et P_{13} B = \frac{i\times(i + 1)}{2} - 2[/tex]

à [tex]P_{13} -> B = \frac{12\times{13}}{2} - 15[/tex]

entre [tex]]13 et 33[ --> B = \frac{i\times(i + 1)}{2} - 15[/tex]

entre [tex]P_{33} et P_{266} B = 500 + \frac{(i - 32)}{2}[/tex]pour [tex]i[/tex] pair par exemple.

Dernière modification par jpp (09-06-2011 22:28:38)

jpp · 10-06-2011 16:50:50

Bonjour

autre ex. [tex]n = 499[/tex]

première phase : je remplie B jusquà [tex]n + d avec d = \frac{p\times{(p+1)}}{2} - n[/tex]

je placerai [tex]1 de A --> C et d-1 de B --> A[/tex]

dans ce cas [tex]n = 499 = \frac{32\times33}{2} - 29[/tex]

ainsi à [tex]P_{32} B = 2 + 3 + 4 + 5 +..... {\color{red} - 14} ... +27 +28 ... + 32 = 499 =n , C = 1[/tex]

seconde phase: [tex]499 - 32 = 467 étapes = 1 + 4\times{116} + 2\times{2}[/tex]
en procédant comme ceci : [tex]- 33 - (116\times{533}) + (116\times{533}) + 266 + 267[/tex]

[tex]B = 499 - 33 \left[- 34 + 35 - 36 ..-264 + 265 {\color{blue}+ 266} axe {\color{blue}+ 267} + 268 - 269 .. {\color{red}-497}+498 - 499\right] = 499 avec 497 A -> C , 498 C -> B et 499 B -> C[/tex]

Ainsi à [tex]P_{497}[/tex] on a [tex]B = 500 A = 499 et B = 498[/tex]

et à [tex]P_{499} --> B = A = C = 499[/tex]

jpp · 14-06-2011 11:57:42

Bonjour.

Voilà; tous les nombres s'écrivent sous la forme: [tex]n = \frac{p\times{(p+1)}}{2}+q[/tex]

si bien qu'en première phase j'empile [tex]n[/tex] dans l'urne B en ayant placé [tex]2 de A -->C ,[/tex]

en ayant déplacé aussi [tex]q-2 de A --> C[/tex] puis ramené [tex]q-1 de C --> A ou B[/tex]

Ce qui fait qu'à l'étape [tex]p[/tex] B = n , A = 2n - 1 et C = 1

cette stratégie est pratiquement identique pour les nombres pairs et impairs .

il faut vérifier que [tex]n - p = 4z[/tex] pour avoir [tex]n à "p" et n-p = 4z + 2[/tex] pour

avoir [tex]n-1[/tex] à l'étape p et donc [tex]n[/tex] à l'étape p+2 . il restera alors

[tex]4z[/tex] étapes avec lesquelles j'appliquerai la formule de Pascal

donc si je donne un exemple

[tex]n = 14 -->A = n = 1 + 3 + 4 + 6 et C = 2 + 5 - 6[/tex]

je ne peux pas approfondir pour l'instant . vous m'en excuserez car mon PC est en panne.

Maintenant Freddy , tu dois avoir une autre méthode ou on peux donner A,B et C à chaque étape

moi je peux aussi le faire , mais il m'aura fallu calculer le premier empilement

si n est de la forme [tex]n = \frac{p.(p+1)}{2}[/tex] comme 15 par exemple alors je place

1 dans l'urne C

à plus.

Dernière modification par jpp (14-06-2011 11:58:18)

jpp · 15-06-2011 18:30:19

Bonsoir.

si [tex]n = \frac{p\times{(p + 1)}}{2}[/tex] exemple [tex]n = 28[/tex] alors je remplis B

jusqu'à [tex]P_8[/tex] afin d'avoir [tex]n - p = 4N[/tex] . et je dois avoir [tex]B = n à P_8[/tex]

je dois donc placer [tex]2 puis 6 A --> C[/tex] puis de C , je renvoie [tex]7 de C --> B[/tex]

alors [tex]à P_8 , n = 28 = 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 , C = 2 + 6 - 7 = 1 et A = 2n[/tex]

puis de [tex]P_9 --> P_n[/tex] le transfert entre B et A s'opère comme ceci:

[tex]28 + 9 - 10 +11 - 12 + 13 -14 .... + 17 {\color{red} - 18 - 19} + 20 -21 ... {\color{blue} - 27(->C)} + 28 = 28[/tex]

N.B. les nombres en rouge sont au centre de la série :

[tex]S = + 5 \times{ \left[(9 + 28)+(11 + 26)+(13+24)+(15+22)+(17+20)\right][/tex]

[tex]-5\times{\left[(10+27)+(12+25)+(14+23)+(16+21)+(18+19)\right] = 0[/tex]

Dernière modification par jpp (15-06-2011 19:51:41)

jpp · 27-06-2011 11:59:36

Bonjour.

en ayant pris un peu de recul...

selon la parité de [tex] n et a [/tex] je place [tex] 1 ou 2[/tex] dans [tex]C[/tex]

puis je charge [tex] B[/tex] et débite [tex] B[/tex] .

c.a.d. quand je ne peux plus débiter [tex]B[/tex] je recharge , ceci jusqu'à mi parcours

puis j'effectue une navette avec [tex]C[/tex] pour n'avoir plus que [tex] 1 --> C[/tex]

et je pratique la symétrie avec la formule de Pascal

en sachant aussi qu'à[tex] P_{n-2}[/tex] je peux avoir plusieurs états des urnes comme

[tex] n-1,n+1,n 3n-1 2n,n-1,1[/tex]

je donnerai quelques exemple ce soir

à plus.

jpp · 27-06-2011 17:33:45

re.

premier exemple. [tex]n = 12[/tex]

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----36-----0\\P_1&1<----35-----0\\P_2&1-----33---->2\\P_3&4<----30-----2\\P_4&0---->34-----2\\P_5&5<----29-----2\\P_6&5-----23---->8\\P_7&12<<---23-----1\\P_8&4---->31-----1\\P_9&13<----22-----1\\P_{10}&13-----12---->11\\P_{11}&24<<---12-----0\\P_{12}&12-----12--->>12\end{cases}[/tex]

jpp · 27-06-2011 18:50:23

Re.

second exemple. [tex] n = 14[/tex]

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----42-----0\\P_1&1<----41-----0\\P_2&1-----39---->2\\P_3&4<----36-----2\\P_4&0---->40-----2\\P_5&5<----35-----2\\P_6&11<----29-----2\\P_7&11-----22---->9\\P_8&19<<---22-----1\\P_9&28<----13-----1\\P_{10}&18---->23-----1\\P_{11}&29<----12-----1\\P_{12}&41<----0-----1\\P_{13}&28-----0--->>14\\P_{14}&14---->14-----14\end{cases}[/tex]

jpp · 27-06-2011 19:04:38

re.

autre exemple avec [tex] n = 11 [/tex]

[tex] \begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----33-----0\\P_1&0-----32---->1\\P_2&2<----30-----1\\P_3&5<----27-----1\\P_4&1---->31-----1\\P_5&6<----26-----1\\P_6&12<----20-----1\\P_7&5---->27-----1\\P_8&13<----19-----1\\P_9&22<----10-----1\\P_{10}&22-----0---->11\\P_{12}&11---->11-----11\end{cases}[/tex]

jpp · 27-06-2011 19:15:13

re

[tex] n = 13[/tex]

[tex] \begin{cases}Urne&B-----A-----C\\P_0&0-----39-----0\\P_1&1<----38-----0\\P_2&1-----36---->2\\P_3&4<----33-----2\\P_4&0---->37-----2\\P_5&5<----32-----2\\P_6&5-----26---->8\\P_7&5-----33<----1\\P_8&13<----25-----1\\P_9&4---->34-----1\\P_{10}&14<----24-----1\\P_{11}&14-----13---->12\\P{12}&26<<---13-----0\\P_{13}&13-----13--->>13\end{cases}[/tex]

jpp · 05-07-2011 20:13:19

Bonsoir.

en fait cette stratégie fonctionne avec les petits nombres seulement.

Si je reviens à mes premières idées une stratégie fonctionne mais pour définir les premiers transferts il

faudrait partir à contre courrant.

En fait pour la plupart des nombres pairs ou impairs les dernières étapes sont les memes.

par exemple à l'étape [tex] n-2 B = n+1 A = n et C = n-1 [/tex]

ou encore [tex] B = 2n+1 A = n-1 et C = 0[/tex]

Si je débite [tex]A [/tex] jusqu'à un nombre qui sera automatiquement de la forme [tex] \frac{p\times{(p+1)}}{2}>n[/tex] de sorte que [tex]\frac{p\times{(p+1)}}{2}=2n - r[/tex] . Alors si [tex] r>p [/tex]

j'ai alors [tex] B + C = 2n - r et A = n + r[/tex]

alors entre [tex] p_p et p_r [/tex] j'effectue des navettes entre [tex]B et C [/tex] et à [tex]p_r [/tex]

je retranche [tex] r de B ou C --> A [/tex] pour avoir à [tex]p_r --> A = n [/tex]

Et à partir de [tex] p_r[/tex] j'effectue à nouveau des navettes entre [tex] B et C [/tex] jusqu'à la fin.

Ainsi pour savoir débiter l'urne [tex] A [/tex] au début et partir dans le sens direct, je peux trouver

le bon cheminement en commençant par la fin . mais ça reste quand meme une stratégie.

quoique dans dans d'autres domaines le sens rétrograde permet de savoir ce qu'il faut faire ou ne pas faire.

Dernière modification par jpp (05-07-2011 20:43:50)

freddy · 06-07-2011 00:41:32

Salut JPP,

je loue ton énergie et ta sagacité.

Bon, sauf erreur, voici une stratégie qui semble fonctionner.

A partir de n = 8, on va segmenter selon le reste de la division de n par 4.

Si n=1 [4], on calcule le nombre [tex]\frac12\times \left(\frac{n(n-1)}{2}-2n\right)[/tex] qu'on cherche à fabriquer en un nombre minimal de termes décroissants à partir de (n-1) jusqu'à 3.

Si n=0 ou 3 [4], on calcule le nombre [tex]\frac12\times \left(\frac{n(n-1)}{2}-n\right)[/tex] qu'on cherche à fabriquer en un nombre minimal de termes décroissants à partir de (n-1) jusqu'à 3.

Dans ces trois cas, ce sont ces termes qu'on transvase de B vers A, les autres allant de A vers B.

Si n=2 [4], on calcule le nombre [tex]\frac12\times \left(\frac{(n-2)(n+1)}{2}-2n\right)[/tex] qu'on cherche à fabriquer en un nombre minimal de termes décroissants à partir de (n-2) jusqu'à 4 ET on transfère 1 de A vers C, puis on fait les échanges entre A et B et B vers A jusqu'à (n-2) qu'on transfère de B vers C, puis on reprend (n-1) de C vers B, puis on finit.

Exemple n=14, 31 = 12+11+8

A = 42, C = 1, B = 2+3+4+5+6+7-8+9+10-11=27, A = 14, B =27-12 = 15, C=1+12-13=0, A = 14, B = 28, ...

Dernière modification par freddy (06-07-2011 07:00:59)

freddy · 06-07-2011 07:13:02

Re,

comment arrive t-on à ce résultat ?

L'idée (et je n'ai pas trouvé tout seul) est la suivante : on sait qu'il faut finir en n avec A = n, B = n et C = n ; donc en (n-1), on doit avoir une combinaison de la forme (2n,n,0), quel que soit l'ordre.

Dans une urne vont aller les termes de la somme partielle [tex]S_{n-1}=1+2+3+ ... + (n-1)=\frac{n(n-1)}{2}[/tex] desquels il faudra retrancher ceux de [tex] P_{n-1}[/tex] de telle façon que [tex]S_{n-1}-2P_{n-1}=2n\;ou\;n[/tex].

C'est dans la résolution de l'équation entière précédente qu'apparait la modularité de n par rapport à 4.

C'est un peu velu, je reconnais. Bien entendu, pas d'espoir pour n=1, 2 ou 4.

freddy · 06-07-2011 11:03:22

Re,

additif : dans la recherche des éléments constitutifs de [tex]P_{n-1}[/tex], inutile de préciser qu'il faut veiller à ce qu'aucun vase ne contienne un nombre négatif de boules.

Ainsi, pour n=18, il faut déduire les termes 4, 11, 13, 14 et 16.

jpp · 06-07-2011 19:40:01

Salut Freddy et tous les autres.

c'est un sacré problème et très intéressant, celui que tu nous a posé,Freddy.

je regarderai de plus près ta solution. mais avant, j'explique la mienne.

je cherche d'abords [tex] p [/tex] je résoud alors l'équation [tex] 2n-r = \frac{p\times{(p+1)}}{2}[/tex] mais comme [tex] r > p [/tex] je pose [tex] r = p + a [/tex]
et mon équation devient

[tex] 2n - (p+a) = \frac{p\times{(p+1)}}{2}[/tex] alors [tex] p^2 + 3p - 4n + 2a = 0[/tex]

il suffit de trouver [tex] a [/tex] pour que [tex] \Delta[/tex] soit un carré parfait.

ainsi si je prend un nombre au hasard [tex] n = 29 [/tex] l'équation devient:

[tex] p^2 + 3p - 116 + 2a = 0 --> \Delta = 9 + 4\times{(4\times{29} - 2a)}[/tex]

on s'aperçoit qu'avec [tex] a = 4 , \Delta [/tex] est un carré parfait

on en déduit [tex] p = \frac{-3 + \sqrt{441}}{2} = 9 et r = 9 + 4 = 13 [/tex]

d'ou le tableau des transferts:

[tex]\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----87-----0\\p_1&0-----86-----1\\p_2&0-----84-----3\\p_3&0-----81-----6\\p_4&4-----77-----6\\p_5&4-----72-----11\\p_6&4-----66-----17\\p_7&4-----59-----24\\p_8&4-----51-----32\\p_{p=9}&13-----42-----32\\p_{10}&23-----42-----22\\p_{11}&12-----42-----33\\p_{12}&24-----42-----21\\p_{r=13}&37-----29-----21\\p_{14}&51-----29-----7\\p_{15}&36-----29-----22\\p_{16}&52-----29-----6\\p_{17}&35-----29-----23\\p_{18}&53-----29-----5\\p_{19}&34-----29-----24\\p_{20}&54-----29-----4\\p_{21}&33-----29-----25\\p_{22}&55-----29-----3\\p_{23}&32-----29-----26\\p_{24}&56-----29-----2\\p_{25}&31-----29-----27\\p_{26}&57-----29-----1\\p_{27}&30-----29-----28\\p_{28}&58-----29-----0\\p_{29}&29-----29-----29\end{cases}[/tex]

à plus.

Dernière modification par jpp (07-07-2011 18:38:56)

freddy · 07-07-2011 10:29:01

Salut,

comme totomn l'a montré, il n'y a pas qu'une seule manière d'arriver au résultat pour n fixé.

Donc ta tactique est probablement aussi bonne que la mienne.

La seule différence, si je puis dire, est que la mienne prouve qu'une solution existe quel que soit n >= 8 ; c'est ce qu'il reste à faire pour la tienne, de mon humble point de vue.

jpp · 08-07-2011 15:34:01

Bonjour.

Je vais commencer par les nombres de la forme [tex]n = \frac{p\times{(p+1)}}{2}[/tex]

a) si [tex]n et p[/tex] sont pairs alors à [tex]p_p --> B_p = \frac{(n-p)}{2} A_p = 2n et C_p = \frac{(n+p)}{2}[/tex]

b) si [tex]n et p[/tex] sont impairs , meme formule

ex: [tex]n = 10 .......................................................... n = 15[/tex]

[tex]n = 10 \begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----30-----0\\p_1&1-----29-----0\\p_2&3-----27-----0\\p_3&3-----24-----3\\p_{p=4}&3-----20-----7\\p_5&8-----20-----2\\p_6&2-----20-----8\\p_7&9-----20-----1\\p_8&1-----20-----9\\p_9&10-----20-----0\\p_{10}&10-----10-----10\end{cases}

--- n = 15\begin{cases}Urne&B-----A-----C\\p_0&0-----45-----0\\p_1&0-----44-----1\\p_2&0-----42-----3\\p_3&0-----39-----6\\p_4&0-----35-----10\\p_{p=5}&5-----30-----10\\p_6&11-----30-----4\\p_7&4-----30-----11\\p_8&12-----30-----3\\p_9&3-----30-----12\\p_{10}&13-----30-----2\\p_{11}&2-----30-----13\\p_{12}&14-----30-----1\\p_{13}&1-----30-----14\\p_{14}&15-----30-----0\\p_15&15-----15-----15\end{cases}[/tex]

c) si [tex]n et p[/tex] sont de parité différente

alors [tex]B = partie-ent\left[\frac{(n-p)}{2}\right] A = 2n C = partie-ent\left[\frac{(n+p)}{2}\right] + 1[/tex]

alors pour [tex]n = 28 --> p = 7 --> B_p = 10 A_p = 56 C_p = 18[/tex]

et à [tex]p_{p+10} --> B_{p+10} = 5 C_{p+10} = 23[/tex]

ainsi qu'à[tex]p_{p+13} --> C_{p+13} = 4 B_{p+13} = 24[/tex]

Dernière modification par jpp (12-09-2011 05:52:20)

jpp · 09-07-2011 09:01:17

Bonjour.

pour les autres nombres qui sont de la forme [tex]n = \frac{p\times{(p+1)}}{2} + q[/tex]

je dois résoudre le système d'équations [tex]p^2 + 3p - 4n + 2a = 0 (1)[/tex]

[tex]r = p + a = 2n - \frac{p\times{(p+1)}}{2} (2)[/tex]

en résolvant (1) --> [tex]\Delta = 9 + 16n - 8a[/tex]

en remarquant que si je suprime [tex]8a[/tex] dans mon déterminant , j'obtiens alors une racine [tex]p[/tex]

supérieure à la racine entière que j'aurais du obtenir avec [tex]8a[/tex]

donc si je garde la partie entière de [tex]p[/tex] je peux trouver [tex]a[/tex] dans l'équation [tex](2)[/tex]

exemple. [tex]n = 999 --> p = \frac{-3 + \sqrt{9 + 16\times{999} - 8a}}{2}[/tex]

si je fais abstraction de [tex]2a[/tex] dans mon équation , donc de [tex]8a[/tex] dans mon

déterminant , je garde donc cette partie entière qui est dans ce cas [tex]p = 61[/tex]

mais comme je sais aussi que [tex]r = p + a = 2n - \frac{61\times62}{2} = 1998 - 1891 = 107[/tex]

je peux donc retrouver [tex]a = r - p = 107 - 61 = 46[/tex]

je peux maintenant définir ma stratégie en sachant qu'à [tex]P_{n-3}[/tex] je peux avoir

[tex]B = 3 A = 999 et C = 1995[/tex] alors à [tex]P_{r+1=108} --> B = 3 + \frac{996-108}{2} = 447 A = 999 et C = 1551[/tex]

à [tex]P_{107} B = 554 A = 999 C= 1444[/tex]

[tex]à P_{106} B = 447 A = 999 + 107 = 1106 C = 1444 et B + C = 1891 = \frac{61\times62}{2}[/tex]

puis entre [tex]P_{61} et P_{107}[/tex] j'échange à nouveau entre [tex]B <----> C[/tex]

à [tex]P_{62} --> B = 447 - \frac{106-62}{2} = 425 A = 1106 C = 1466[/tex]

et avant la remonté de toutes les boules dans l'urne A

à [tex]P_ {61} --> B = 425 + 62 = 487 A = 1106 et C = 1466 - 62 = 1404[/tex]

ma stratégie est donc la suivante:

je transfert la suite [tex]( 1 + 2 + 3 + 4 +...+52 + 53 ) sauf (27) A --> B puis 27 + ( 54+55+56+...+60+61) A--> C[/tex]

et ces 2 stratégies fonctionnent , la première avec les nombres 10 , 21 , 28 , 36 ....

et la seconde avec les autres meme n=3 ou n = 5

Dernière modification par jpp (10-07-2011 17:10:24)

totomm · 05-08-2011 17:35:32

Bonjour,

@ jpp : vous n'avez pas dû regarder le post #139 (du 06/07/2011) de freddy comme vous pensiez le faire (votre post #142) car pour n=13, 17, 21,...(cas n=1[4] ) le nombre calculé n'est pas entier ( respectivement 32.5, 59.5, 94.5,...)
Si pour n=13 on prend le nombre 32=12+11+9, après les pas 8 à 12, on a 36, 27,37,26,14 alors qu'on devrait terminer avec 13
Si pour n=13 on prend le nombre 33=12+11+10, on ne peut ajouter 9 à 36 pour le pas 9

Par ailleurs les indications des post #139, 140, et 141 ne permettent pas de comprendre comment construire dans le cas n=2[4] en tenant compte de la vague indication ;" inutile de préciser qu'il faut veiller à ce qu'aucun vase ne contienne un nombre négatif de boules. "

Sauf erreur de compréhension de ma part.
Cordialement

totomm · 05-08-2011 22:17:01

Bonsoir,

@ freddy : Je vous présente mille excuses pour mon erreur dans les cas n=1[4]

car pour n=13, 17, 21,...(cas n=1[4] ) les nombres calculés sont bien entiers (respectivement 26, 51,84,,...). J'ai été perturbé par un de mes petits enfants, mais cela reste peu pardonnable ! Quasi endormi, je me suis relevé car une telle erreur de votre part m'est apparue impossible.
Je reste cependant sur l'imprécision du post #141 qu'il vous sera sans doute facile de dissiper

@+

totomm · 06-08-2011 18:08:18

Bonsoir,

j'ai hier commencé une vérification systématique des posts #139 à 141
Après avoir été perturbé, j'ai rectifié et vérifié, mais je peux m'être encore trompé :

pour n=11 le nombre est 22 =10+ 9+ 3. B ne dépasse pas 3n=33 Méthode OK
pour n=12 le nombre est 27 =11+ 10+ 6. B ne dépasse pas 3n=36 Méthode OK

pour n=13 le nombre est 26 =12+ 11+ 3. B vaut 49 au pas 10 donc dépasse 3n=39. La Méthode est donc KO, même si en poursuivant B serait correct à 26 au pas 12.
pour n=17 le nombre est 51 =16+ 15+ 14+6. B vaut 54 au pas 11 donc dépasse 3n=51. La Méthode est donc KO, même si en poursuivant B serait correct à 34 au pas 16.

pour n=18, le nombre est 58=16+15+14+13 qu'il faut remplacer par 16+14+13+11+4 et alors la méthode pour n=2[4] est OK : Comment choisir la bonne liste ??

Mais peut-on toujours " fabriquer le nombre en un nombre minimal de termes décroissants à partir de (n-1) (ou n-2) jusqu'à 3 " ?
Eh bien NON, voici pour 8 <= n < 400 les erreurs :
Erreur sur n = 9 nombre = 9 , obtenu = 8
Erreur sur n = 27 nombre = 162 , obtenu = 161
Erreur sur n = 44 nombre = 451 , obtenu = 450
Erreur sur n = 86 nombre = 1741 , obtenu = 1740
Erreur sur n = 101 nombre = 2424 , obtenu = 2422
Erreur sur n = 160 nombre = 6280 , obtenu = 6279
Erreur sur n = 202 nombre = 9948 , obtenu = 9947
Erreur sur n = 259 nombre = 16576 , obtenu = 16575
Erreur sur n = 357 nombre = 31416 , obtenu = 31415

A suivre.....

freddy · 06-08-2011 22:12:36

totomm a écrit :

Bonsoir,
j'ai hier commencé une vérification systématique des posts #139 à 141
Après avoir été perturbé, j'ai rectifié et vérifié, mais je peux m'être encore trompé :
pour n=11 le nombre est 22 =10+ 9+ 3. B ne dépasse pas 3n=33 Méthode OK
pour n=12 le nombre est 27 =11+ 10+ 6. B ne dépasse pas 3n=36 Méthode OK
pour n=13 le nombre est 26 =12+ 11+ 3. B vaut 49 au pas 10 donc dépasse 3n=39. La Méthode est donc KO, même si en poursuivant B serait correct à 26 au pas 12.
pour n=18, le nombre est 58=16+15+14+13 qu'il faut remplacer par 16+14+13+11+4 et alors la méthode pour n=2[4] est OK : Comment choisir la bonne liste ??
(...)
A suivre.....

Salut,
pour n=13, il faut former 26=12+9+5 ... 3 termes, mais pas choisis n'importe comment.

Comment choisir la bonne liste ? Puisque la solution mathématique est incontestable, il faut le "dire" à l'ordinateur via un pgm adapté. C'est là où je trouve que l'ordinateur nous donne un très sérieux coup de main. Avec l'exemple de n=13, je pense que tu peux concevoir ce pgm de recherche de la bonne solution.

Sinon, excuses acceptées bien entendu, mais tu n'as pas besoin d'en faire, tout le monde peut se tromper, on le sait tous !

totomm · 07-08-2011 09:30:32

Bonjour,

La solution mathématique, tout en étant incontestable, ne semble pas traiter les dépassements de B qui doit toujours rester dans l'intervalle [0, 3n] .
On peut certainement programmer un algorithme qui cherche une liste convenable, mais, en l'absence d'indications qui complèteraient cette solution mathématique, il lui faudrait itérer dans la génération de chacun des pas, sans même être certain qu'il existe une liste qui convienne pour tout n, sans débordement de B.
Mais je suis prêt à programmer s'il est démontrable, à priori, qu'une telle liste existe.

J'ai préféré présenter une solution par "suites récurrentes", car chacune de ces suites allant de m à n, leur algorithme de construction montre qu'aucun pas ne débordera de l'intervalle [0, 3n].

@jpp : Votre solution est-elle suffisamment présentée globalement pour être testée "pour tout n" ?

Cordialement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#126 06-06-2011 19:39:00

Re : Les vases communicants ...

#127 08-06-2011 06:04:29

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#128 09-06-2011 06:09:34

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#129 09-06-2011 18:58:01

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#130 10-06-2011 16:50:50

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#131 14-06-2011 11:57:42

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#132 15-06-2011 18:30:19

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#133 27-06-2011 11:59:36

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#134 27-06-2011 17:33:45

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#135 27-06-2011 18:50:23

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#136 27-06-2011 19:04:38

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#137 27-06-2011 19:15:13

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#138 05-07-2011 20:13:19

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