Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour satisfaire freddy je vais donner (essayer…) une démonstration simple pour toutes les configurations qui comportent des points alignés et un seul point hors de la droite commune. Genre exemple du post #39

Je ne me lancerai pas dans une démonstration dans le cas général où les points sont éparpillés dans le plan.
J'ai montré au post #41 qu'il existait 4 points non alignés 2 à 2 pouvant former soit un triangle avec un point intérieur, soit un quadrilatère. A freddy de dire s'il est possible d'en trouver 9...

Soient donc, dans le plan, 2 points O et A distants de a, nombre entier, et une droite D1 passant par O faisant un angle [tex]\theta[/tex] avec la droite OA.
On considère sur la droite D1 des points B_i dont la distance b_i au point O et la distance c_i au point A sont des nombres entiers. Prenons 4 triangles formés par les points O, A, B_i et B_j dont tous les cotés sont des nombres entiers :
En m'inspirant de la technique Modulo 3 utilisée par jpp, je vais démontrer qu'au moins UN des 6 cotés est divisible par 3, même si aucun des entiers a, b_i, b_j, c_i, c_j ne l'est. En effet facilement :
[tex]2ab_icos\theta = 3k_i+1 \ et \ 2ab_jcos\theta = 3k_j+1[/tex]

donc [tex]\frac{b_j}{b_i}=\frac{3k_j+1}{3k_i+1}[/tex]

d'où [tex]\frac{b_j-b_i}{b_i}= \frac{3(k_j-k_i)}{3k_i+1}[/tex] ce qui démontre que le coté [tex]B_iB_j[/tex] a une longueur divisible par 3

Cordialement

mdification [tex]b_j[/tex] au lieu de [tex]bj[/tex]

Bonjour,

Il ne s'agit pas de mettre en cause la "démonstration", mais d'étendre la construction de 9 points sur des droites qui ne sont plus perpendiculaires, qui ne permettent donc plus "la symétrie axiale" et qui , donc, généralisent la construction dans le plan…
ET NON PAS :

Exemple  : sur une droite D1, soit le segment OA=74. Sur une droite D2 passant par O et faisant avec D1 un angle [tex]\theta \ tel \ que \cos\theta=\frac{11}{37} \ (rationnel  \ choisi \ au \ hasard)[/tex],
alors on trouve au moins 9 points distants de 0 de :
15 29 44 50 84 105 114 170 224
et respectivement distants de A de :
71 71 74 76 94 109 116 164 214 (calculs exacts sur des entiers)

Si l'on ne conserve que les 2 points O, A, et les 7 distants de 29 à170 de O sur D2, il y a 12 distances divisibles par 3 et 24 non divisibles sur les 36 distances des points pris 2 à 2.

Les distances ne sont plus des "triplets pythagoriciens"
et peut-être y a-t-il encore bien d'autres constructions possibles dans le plan ?

Cordialement

Bonsoir,

Mieux vaut obtenir d'abord un numérateur P de degré inférieur à celui du dénominateur Q....soit f(x) = 1 + P/Q

Cordialement.

Bonsoir,

@jpp : Si vous placez 4 points avec, par exemple, [tex]0<\gamma <\frac{\pi}{2} \ et \ 0<\theta <\frac{\pi}{2}-\gamma[/tex]
il est assez évident que vous ne pouvez avoir:   [tex]\cos({\gamma})\mod{3}\equiv\ \ \cos({\theta})\mod{3}\equiv\ \ \cos({\gamma+\theta})\mod{3}[/tex]
Il y a donc  une absurdité dès que vous posez ces 3 cosinus...??

Cordialement

Bonjour,

Merci freddy pour la suggestion :
On peut considérer un axe ox et un axe oy tourné de [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] par rapport à ox.

L'origine o, un point A d'abscisse 80 sur ox,
et les 7 points sur oy distants, depuis o, de 99,105,128,150,182,234,275 répondent au problème.
Les points sur oy sont à distances de A respectivement égales à 91, 95, 112, 130, 158, 206, 245
ce n'est que le résultat d'une simple Pythonnerie rapide....(calculs sur des entiers)
et il y en a bien d'autres !

Je suis curieux d'une démonstration qui traiterait de tous les ensembles de 9 points du plan qui répondent au problème.

Cordialement

Bonsoir,

Aligner tous les points est une idée qui vient assez vite à l'esprit mais,
tant qu'on n'a pas démontré qu'ils ne peuvent pas être "disposés sur un plan" comme indiqué post #1, ....on cherche...

d'ailleurs les 4 points suivants (0,0), (12,0), (0,5), (0,35) ont entre eux des distances entières...

Cordialement

Bonjour,

@ freddy :
Réponse à la question 1 :
C'est elle, quand j'ai raconté comment s'était passée cette réunion où les dames étaient très majoritaires qui a demandé si j'étais certain qu'en latin on employait le neutre pour désigner ensemble une personne homme et une personne femme.

Réponse à la question 2 : plus qu'un (ou une)

Cordialement

Bonjour,

@ yoshi : Merci pour cette réponse.

Je vais pouvoir confirmer à une de mes petites filles (15 ans) qui m'avait répliqué avec une logique "étonnante" ( Elle est très bonne en maths.....)
J'ai essayé de poser la question sur un forum de latinistes, mais j'ai dû mal m'y prendre, je n'y suis pas arrivé !

Cordialement

Bonjour,

Merci professeur pour cette invitation à publier dont vous vous tireriez bien mieux que moi, quasi-profane en la matière (A part quelques suivis occasionnels de contrôles qualité dans la profession dont je suis maintenant retraité...)

J'ai écrit un peu vite : "sont deux estimateurs" au lieu de "concernent" ou " s'appliquent à " : j'en suis tout confus et j'espère que l'internaute du post #4 n'en aura pas été perturbé dans ses connaissances.
J'exprimais juste une réticence à accepter une mise en cause qui m'apparaissait trop lapidaire et sur laquelle vous auriez pu vous-même réagir (par exemple : en donnant une bonne interprétation du texte incriminé).

Cordialement

Bonjour,

Si vous donnez 2 droites ox et oy qui se coupent en o et un point P : la distance Po et l'angle Pox sont des données de la figure, tout comme l'angle xoy...: Non ?

Si vous connaissez les équations des 2 droites et les coordonnées du point P :
la distance Po et les angles xoy et Pox peuvent être calculés,
puis ensuite tous les éléments issus d'une sécante passant par P et définie par l'angle qu'elle fait avec Po : C'est ce que font tous les géomètres après relevé sur un terrain d'une longueur de base et mesures d'angles.

Cordialement

Bonjour,

Si on accepte de "calculer", il n'y a pas d'obstacle majeur, si l'on n'autorise que "règle et compas" c'est une autre affaire !

Supposons donc connus la distance PO, l'angle Pox, l'angle xoy, et traçons une sécante PAB avec A sur ox et B sur oy.
On connait tous les angles des triangles PoA et oAB en fonction de l'angle oPA
On sait résoudre le triangle PoA connaissant PO, d'où oA en fonction de l'angle oPA (par la loi des sinus).
On sait aussi déterminer les cotés oB et AB dans le triangle oAB dont on vient de déterminer oA.
Ayant oA+AB+oB en fonction de l'angle oPA, on sait donc déterminer l'angle oPA en fonction de oA+AB+oB=périmètre donné.

Cordialement

Bonjour,

un algorithme est mis en forum Programmation
il "fabrique" 57 cartes avec 57 figures si le nombre de figures par cartes est 8

Il peut paraître un peu obscur, sa clé est la permutation circulaire en fin d'algorithme
qui fonctionne dans des carrés 7x7 un peu comme pour les sudoku....

Je l'avais sous le coude depuis un moment, j'aurais pu le publier bien plus tôt
Cordialement