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Roux

Invité

Périmètre d’un triangle

Bonjour,

Quelqu’un peut-il m’aider à résoudre le problème à suivre ?
Je vous en fait l’historique. Il s’agit d’un problème posé en 1956 pour un examen de passage en fin de 2nde pour des cours du soir dans le cadre de la DCAN.
La personne qui cherche à résoudre le problème est mon père, âgé de 87 ans, qui continue à faire des mathématiques pour le plaisir mais qui bute sur ce problème depuis plusieurs semaines. En dépit de nombreuses sollicitations que j’ai pu émettre autour de moi toujours pas de réponse.

Par un point P, mener une sécante qui coupe les 2 côtés d’un angle xôy donné de manière à ce que le périmètre du triangle AOB formé ait une longueur donnée.

Je vous remercie par avance de bien vouloir l'aider

freddy

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Re : Périmètre d’un triangle

Salut,

P est il distinct de O ?

Roux

Invité

Re : Périmètre d’un triangle

Oui P est externe et donc distinct de Ô

totomm

Membre

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Re : Périmètre d’un triangle

Bonjour,

Si on accepte de "calculer", il n'y a pas d'obstacle majeur, si l'on n'autorise que "règle et compas" c'est une autre affaire !

Supposons donc connus la distance PO, l'angle Pox, l'angle xoy, et traçons une sécante PAB avec A sur ox et B sur oy.
On connait tous les angles des triangles PoA et oAB en fonction de l'angle oPA
On sait résoudre le triangle PoA connaissant PO, d'où oA en fonction de l'angle oPA (par la loi des sinus).
On sait aussi déterminer les cotés oB et AB dans le triangle oAB dont on vient de déterminer oA.
Ayant oA+AB+oB en fonction de l'angle oPA, on sait donc déterminer l'angle oPA en fonction de oA+AB+oB=périmètre donné.

Cordialement

Roux

Invité

Re : Périmètre d’un triangle

Bonjour et merci pour votre contribution,

J’ai tout de même une question par rapport à votre solution : «  Supposons donc connus la distance PO, l'angle Pox, l'angle xoy, ... », je ne vois pas comment vous connaissez l’angle Pox, comment pouvez-vous le déterminer ? vous considérez que dans l’énoncé : angle xôy donné signifie que l’on connait la valeur de l’angle mais également son orientation ?

Cordialemement

totomm

Membre

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Re : Périmètre d’un triangle

Bonjour,

Si vous donnez 2 droites ox et oy qui se coupent en o et un point P : la distance Po et l'angle Pox sont des données de la figure, tout comme l'angle xoy...: Non ?

Si vous connaissez les équations des 2 droites et les coordonnées du point P :
la distance Po et les angles xoy et Pox peuvent être calculés,
puis ensuite tous les éléments issus d'une sécante passant par P et définie par l'angle qu'elle fait avec Po : C'est ce que font tous les géomètres après relevé sur un terrain d'une longueur de base et mesures d'angles.

Cordialement

totomm

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Re : Périmètre d’un triangle

Bonjour,

j'ai découvert une belle et simple construction de la sécante cherchée (les idées arrivent quelquefois sans que l'on sache comment !) :

porter sur ox un point M tel que oM=p/2 (p=périmètre donné)
Soit C le cercle centré sur la bissectrice de xoy et tangent à ox en M
La sécante cherchée est une tangente issue de P (donné) à ce cercle qui coupe ox et oy en A et B.
Démonstration assez évidente....en considérant la somme des longueurs des tangentes issues de o au cercle C qui est égale au périmètre du triangle oAB

Cordialement

Roux

Invité

Re : Périmètre d’un triangle

Bonsoir,

Merci ! Je suis plus convaincue par cette dernière solution qui a le mérite de ne pas introduire de donnée non fournie par l’énoncé.

Je transmets votre solution dès demain à mon père, je pense que cette fois-ci il sera satisfait, et pourra ainsi passer à un nouveau problème

Cordialement

karlun

Membre

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Re : Périmètre d’un triangle

Bonsoir,

J' ai cherché une solution graphique (compas et règle); je suis arrivé à rendre compte que la mise en parallèle de deux directrices de construction mène à la solution. Insatisfaisant.

Je lis la solution de Totomm et... bravo!  Je la « géolabore » pour le plaisir. Tout tombe juste;
Mais une question me « poursuit »:
Pourquoi partir de la moitié de la longueur du périmètre donné?
La démonstration si aisée (« somme des longueurs des tangentes issues de o au cercle C ...»)       ...

@Totomm,

j'aimerais, si possible, en prendre connaissance (pour le plaisir encore).

Merci.

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