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Bonsoir alberth35,

Je ne saisis pas trop ce que tu veux dire par « lorsqu'on calcule les coordonnées d'une parabole, on retrouve toujours y = x^2 ».

Je crois toutefois comprendre : oui, l'équation de toute parabole à axe vertical contient nécessairement un terme en $x^2$.

De même, l'équation de toute parabole à axe horizontal contient nécessairement un terme en $y^2$, la parabole de référence étant alors $x = y^2$.

Enfin, l'équation d'une parabole à axe oblique contient nécessairement un terme en $x^2$ ET un terme en $y^2$.

La réciproque n'est cependant pas vraie : une équation contenant un terme en $x^2$ et un terme en $y^2$ ne représente pas forcément une parabole à axe oblique. Par exemple, l'équation d'un cercle de centre $C(x_c , y_c)$ et de rayon $R$ est
$(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$

Était-ce le sens de ta question ? Ma réponse te convient-elle ?

Cordialement,
Borassus

Bonjour jelobreuil,

Pour ma part, cela fait longtemps que je me posais la question, et les expressions auxquelles j'aboutissais ne me semblaient pas satisfaisantes car je n'y lisais pas une structure facilement mémorisable, et donc facilement transmissible.

C'est la discussion sur les foyers de l'hyperbole (https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16854) qui m'a incité à régler le sort d'une parabole de foyer et de directrice quelconques.

Bon dimanche.
Bien cordialement.

Bonjour alberth,

Enfin une intervention d'élève dans ces discussions "entre initiés" semblant "voler haut" !  :-)

Géométriquement, une parabole est l'ensemble des points à même distance d'un point, appelé "foyer", et d'une droite, appelée "directrice". (Un cercle est l'ensemble des points à même distance d'un point, le centre du cercle. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points à même distance des deux extrémités du segment.)

La courbe $y = x^2$ est une parabole car n'importe quel point de la courbe est à égale distance du foyer, dont les coordonnées sont $ \left(0, \dfrac 1 4 \right)$, et la directrice horizontale, d'équation $y = -\dfrac 1 4$.

Malheureusement, on vous dit que la courbe $y = x^2$ est une parabole (Ploum !), sans jamais vous expliquer ce qu'est une parabole. (On pourrait, avec le même succès, vous dire que cette courbe est appelée "Gabuzomeu".  :-)

Pour comprendre pourquoi cette courbe est une parabole, il suffit de calculer séparément la distance entre le point $M(x_0,y_0)$ et le point $F \left(0,\dfrac 1 4 \right)$, et celle entre le point $M(x_0,y_0)$ et son projeté orthogonal $M'$ — c'est-à-dire l'intersection entre la verticale passant par $M$ et la directrice horizontale — de coordonnées $ \left(x_0, -\dfrac 1 4 \right)$.
(Ou plutôt, de calculer le carré des distances, ce qui permet de ne pas trimbaler des racines carrées. Normalement, étant en Seconde, tu sais calculer le carré de la distance entre deux points dans un repère orthonormé car ce calcul est habituellement enseigné en 3ème.)

Une identité remarquable, c'est fait pour être... remarquée.  :-)

Bonsoir Michel,

Je retrouve en effet cette structure dans mon expression :

$b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy$ s'écrit $(bx - ay)^2$

$-2 \left( x_f(a^2 + b^2) + ac \right)$ correspond à ton $2c$.

$-2 \left( y_f(a^2 + b^2) + bc \right)$ correspond à ton $2d$.

Et $(a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2$ correspond à ton $e$.

Bonne fin de soirée.
Bien cordialement.

Bonsoir jelogreuil,

Oups ! Effectivement ! Et j'avais l'impression d'avoir bien relu l'expression. (Il est vrai qu'elle n'est pas simple.)

La bonne formule est
$b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy -2 \left( x_f(a^2 + b^2)  + ac \right)x - 2 \left( y_f(a^2 + b^2) + bc \right)y + (a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2 = 0 $.

Merci de la rectification !
Bien cordialement.
B.

PS : En 68, j'étais en 3ème.  :-)

PPSS : Comment colorier du texte dans une expression LaTeX ? \textcolor{red}{x} semble ne pas être accepté.

Whaou ! Merci, Glozi !!

Qu'est-ce que vous me faites tous progresser, tant dans mes connaissances que dans mes approches pédagogiques !!!
Merci, merci, merci !!!

PS : Je me suis rendu compte que je n'ai même pas expliqué à mon élève le triangle de Pascal.  :-)

PS : Comment faire pour intégrer les figures directement dans la page, et non en tant que lien ?

OK. J'ai bien compris le calcul faisant intervenir la distance avec la directrice. Merci !

Comment déduire les coefficients multinomiaux des coefficients binomiaux ??
(Si c'est à quoi tu fais référence.)

J'ai d'abord voulu traiter le premier calcul.

Je m'attaque maintenant au second.

En écrivant les sommes possibles de 4 :
$4 = 4 + 0$  (+ 0 signifie tous les autres termes élevés à la puissance 0)
$4 = 3 + 1 + 0$
$ 4 = 2 + 2 + 0$
$4 = 2 + 1 + 1 + 0$
$4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0$

puis en utilisant les formules $\dfrac {4!}{3! \times 1! \times 0!}$ ,  $\dfrac {4!}{2! \times 2! \times 0!}$  , etc.

Même procédé pour $n = 5$ :

$5 = 5 + 0$
$5 = 4 + 1 + 0$
$5 = 3 + 2 + 0$
$5 = 3 + 1 + 1 + 0$
etc.