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Borassus

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Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonsoir,

J'expérimente en permanence ce qu'une ou un élève peut encaisser à partir du moment où elle ou il comprend la logique d'une notion.

J'ai donc expliqué ce matin à un élève de 5ème — qui certes a oublié d'être bête —  $(a + b + c + d + e)^2$ ,   $(a + b + c + d + e)^3$  et  $(a + b + c + d + e)^4$.

Sans problème !

On est très loin des sempiternels $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$  et   $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ !

Je lui ai fourni les coefficients sans les expliquer.

Demain, je lui expliquerai la logique de calcul des coefficients multinomiaux, et donc les notions d'arrangement, de permutation, de factorielle et de combinaison. (Après tout, il ne s'agit que de multiplications et de divisions tout à fait accessibles à un jeune élève !)

A propos : "multi" commence à "bi"...

Dernière modification par Borassus (15-02-2024 22:18:45)

Glozi

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonjour,
Je ne sais pas comment tu as réussi à faire tenir $(a+b+c+d+e)^4$ sur le tableau !
Si ne m'abuse, il y a 70 monômes d'une nature différente, ça fait beaucoup !
Bravo en tout cas
Bonne journée

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonjour,

Merci, Glozi, pour ton compliment !

Je n'ai pas écrit tous les monômes. Je mettais des points de suspension une fois que l'élève avait compris la logique concernant une catégorie de monôme.
Exemples
$ 4(a^3b + a^3c + a^3d + a^3e + b^3a + b^3c + b^3d + b^3e  + ...) $

$ 6(a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + a^2e^2 + b^2c^2 + b^2d^2  + ...) $

$ 12(a^2bc + a^2bd + a^2be + a^2cd + a^2ce + b^2ac + b^2ad  + ...) $

$ 24(abcd + abce + abde + acde + bcde) $

Bon début de soirée.

Dernière modification par Borassus (16-02-2024 18:26:07)

Glozi

Invité

Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Je vois, bonne idée !
Je pense effectivement qu'ils vont surement se demander comment trouver systématiquement ces coefficients "mystérieux".

Par ailleurs ton histoire m'a rappelé le problème suivant (je vous laisse y réfléchir pour les personnes que ça intéresse) :
Lorsqu'on développe brutalement $(x_1+\dots+x_n)^m$ on voit apparaitre $n^m$ termes mais on peut regrouper ceux qui sont identiques, trouver alors le nombre de termes qu'on obtient en fonction de $n$ et $m$.
Ex : $n=2, m=3$, on a $(x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1x_2^2+3x_1^2x_2+x_2^3$ donc ici quatre termes !
(c'est avec cette formule que j'ai trouvé le 70).

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Demain, je lui expliquerai la logique de calcul des coefficients multinomiaux, et donc les notions d'arrangement, de permutation, de factorielle et de combinaison. (Après tout, il ne s'agit que de multiplications et de divisions tout à fait accessibles à un jeune élève !)

Je lui ai donc effectivement expliqué ces notions en me basant sur l'exemple suivant, que j'utilise souvent pour expliquer le calcul combinatoire :
Un repas de famille de 13 personnes est composé comme suit : 6 adultes, 4 enfants, 3 ados.
Il y a donc 13 chaises autour de la table.

Le nombre de possibilités de placer les treize convives de façon indifférenciée est égal à

$ \left( \dfrac {13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8} {6!} \right) \times \left( \dfrac {7 \times 6 \times 5 \times 4}{4!} \right) \times \left( \dfrac{3 \times 2 \times 1}{3!} \right) $

(et non $\dfrac {13!}{6!  \times 4! \times 3!}$ car cette réunion artificielle des facteurs casse la logique des trois placements, celui des adultes, celui des enfants, celui des ados)

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Je pense effectivement qu'ils vont surement se demander comment trouver systématiquement ces coefficients "mystérieux"

En écrivant les sommes possibles de 4 :
$4 = 4 + 0$  (+ 0 signifie tous les autres termes élevés à la puissance 0)
$4 = 3 + 1 + 0$
$ 4 = 2 + 2 + 0$
$4 = 2 + 1 + 1 + 0$
$4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0$

puis en utilisant les formules $\dfrac {4!}{3! \times 1! \times 0!}$ ,  $\dfrac {4!}{2! \times 2! \times 0!}$  , etc.

Même procédé pour $n = 5$ :

$5 = 5 + 0$
$5 = 4 + 1 + 0$
$5 = 3 + 2 + 0$
$5 = 3 + 1 + 1 + 0$
etc.

Dernière modification par Borassus (16-02-2024 18:29:42)

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Par ailleurs ton histoire m'a rappelé le problème suivant (je vous laisse y réfléchir pour les personnes que ça intéresse) :
Lorsqu'on développe brutalement $(x_1+\dots+x_n)^m$ on voit apparaitre $n^m$ termes mais on peut regrouper ceux qui sont identiques, trouver alors le nombre de termes qu'on obtient en fonction de $n$ et $m$.
Ex : $n=2, m=3$, on a $(x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1x_2^2+3x_1^2x_2+x_2^3$ donc ici quatre termes !
(c'est avec cette formule que j'ai trouvé le 70).

Sauf erreur de ma part, je trouve 40 monômes :
$ \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4}$
soit $ 5 + 10 + 10 + 10 + 5 = 40$

Bernard-maths

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonsoir !

Moi je pense tableau des coefficients binomiaux ...

B-m

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonsoir, Bernard !

C'est bien ce que je fais. Pour n = 5, les coefficients sont 1, 5, 10, 10, 5, 1.

A moins que je n'aie pas compris ce que tu veux dire.

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Comment déduire les coefficients multinomiaux des coefficients binomiaux ??
(Si c'est à quoi tu fais référence.)

Dernière modification par Borassus (16-02-2024 19:20:04)

Glozi

Invité

Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

J'en compte plus :
ceux de la forme $x^4$  : 5 monômes (choisir une variable parmi 5)
ceux de la forme $x^2y^2$ : 10 monômes (choisir 2 variables parmi 5)
ceux de la forme $xyzt$ : 5 monômes (choisir 4 variables parmi 5)
ceux de la forme $x^3y$ : 20 monômes (5 choix pour x puis 4 choix pour y)
ceux de la forme $x^2yz$ : 30 monômes (5 choix pour la variable $x$ puis 6 choix pour les variables $\{y,z\}$ (prendre 2 variables parmi les 4 variables différentes de $x$))

NB : ce n'est pas la méthode que j'utilise pour le cas général avec $n$ et $m$ quelconques.

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Oups ! C'est pour cela que j'avais écrit « Sauf erreur de ma part »

Je fatigue !

Bernard-maths

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Re,

1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

etc ...

C'est ça, bonsoir !

B-m

Glozi

Invité

Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Comment déduire les coefficients multinomiaux à partir des binomiaux ?
Si $n=k_1+k_2+\dots + k_m$
alors
$${n\choose k_1,k_2,\dots,k_m} = {n\choose k_1}{n-k_1 \choose k_2}{n-k_1-k_2 \choose k_3}\dots {n-k_1-k_2-\dots -k_{m-1}\choose k_m}.$$

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Tout à fait !

Cela rejoint la logique de mon exemple avec la réunion familiale.

Ma question sous-jacente, que je n'avais pas explicitée, était « Comment construire un "triangle de Pascal" des coefficients multinomiaux... ? »

Glozi

Invité

Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Simplement en augmentant la dimension : on passe d'un triangle à une pyramide pour les coefficients trinomiaux par exemple.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramide_de_Pascal
https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_simplex

Borassus

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Whaou ! Merci, Glozi !!

Qu'est-ce que vous me faites tous progresser, tant dans mes connaissances que dans mes approches pédagogiques !!!
Merci, merci, merci !!!

PS : Je me suis rendu compte que je n'ai même pas expliqué à mon élève le triangle de Pascal.  :-)

Michel Coste

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Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Bonsoir,
Compter les monômes de degré $d$ en $n$ variables, c'est ranger $d$ chausettes indistingables (le degré) dans $n$ tiroirs (les variables).
Truc classique en représentant les séparation entre tiroirs par des | et les chaussettes par des X comme XX||X|XXX| pour 2 chaussettes dans le 1er tiroir, 0 dans le deuxième, 1 dans le troisième , 3 dans le quatrième et 0 dans le cinquième et dernier. Cette représentation graphique montre que le nombre de façon de faire est $\binom{d+n-1}{d}$.
Pour le degré $d=4$ et $n=5$ variables, $\binom{8}{4}=70$.

Glozi

Invité

Re : Développement de (a + b + c + d + e)^4 expliqué à un élève de 5ème...

Oui tout à fait, c'est la méthode que j'avais en tête :)
Les anglais ont même donné un nom à ce raisonnement : https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and … inatorics)
"les étoiles et les barreaux" si j'ose tenter une traduction.
Bonne soirée