Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir, ou bonjour,

Cherchant toujours à écarter autant que possible les murs très limitants des sacro-saints programmes — vous êtes trop jeunes pour comprendre telle ou telle notion ; vous la comprendrez lorsque vous serez plus grands, et seulement si vous êtes bien sages... —, j'ai voulu déterminer l'équation d'une parabole de foyer et de directrice quelconques.

Voici donc, après calculs, ma réponse à la question que je me suis posée (j'aime bien répondre aux questions que je me pose :-) :

Soient donc un foyer $F(x_f , y_f)$ et une droite $d$ d'équation $ax + by + c = 0$.

L'équation de la parabole est
$b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy -2 \left( x_f(a^2 + b^2) + ac \right)x - 2 \left( y_f(a^2 + b^2) + bc \right)y + (a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2 = 0 $

(Si $a = 0$, la courbe obtenue est une parabole classique à axe vertical ; si $b = 0$, la courbe obtenue est une parabole à axe horizontal ; si $a$ et $b$ sont quelconques, la courbe obtenue est une parabole à axe oblique.)

Rappels et indications, si vous voulez retrouver l'équation par vous-mêmes : Une parabole est l'ensemble des points équidistants d'un foyer et d'une directrice.
La distance d'un point $M(x_0 , y_0)$ à une droite d'équation $ax + by + c = 0$ se calcule selon la formule $d(M,d) = \dfrac {|ax_0 + bx_0 + c|}{\sqrt {a^2 + b^2}}$.
Raisonner plutôt en carré de distance qu'en distance. Par ailleurs, le carré d'une somme est égal à la somme des carrés plus deux fois la somme des produits de deux termes différents.

Pour vous amuser avec Geogebra : https://www.cjoint.com/c/NBrtCCRE8SD
(Vous pouvez modifier la droite à l'aide des curseurs ; vous pouvez aussi modifier la position du foyer.)

Amusez-vous bien !
Bonne soirée.

Dernière modification par Borassus (17-02-2024 23:13:52)

Bernard-maths

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir !

Très bien !

As tu regardé mon post pour l'hyperbole ? https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 79#p109979

Bonne nuit ... ne nuit pas ...

B-m

jelobreuil

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir Borassus,
Je me souviens de m'être posé le même problème quand j'étais en classe de première (en 1968 !) et d'avoir abouti à une formule semblable. Mais je pense qu'il y a quelque chose qui manque dans ton équation, puisque je n'y vois pas de terme en x ou en y : je crois bien que tu as oublié de mettre un x et un y à la fin des deux termes en 2(....), non ? 
Bien cordialement, JLB

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir jelogreuil,

Oups ! Effectivement ! Et j'avais l'impression d'avoir bien relu l'expression. (Il est vrai qu'elle n'est pas simple.)

La bonne formule est
$b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy -2 \left( x_f(a^2 + b^2)  + ac \right)x - 2 \left( y_f(a^2 + b^2) + bc \right)y + (a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2 = 0 $.

Merci de la rectification !
Bien cordialement.
B.

PS : En 68, j'étais en 3ème.  :-)

PPSS : Comment colorier du texte dans une expression LaTeX ? \textcolor{red}{x} semble ne pas être accepté.

Dernière modification par Borassus (17-02-2024 22:24:40)

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

As tu regardé mon post pour l'hyperbole ? https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 79#p109979

Bonne nuit ... ne nuit pas ...

B-m

Bonsoir Bernard,

Je te réponds ce soir ou demain dans la discussion haddock. :-)

J'aime bien ton « Bonne nuit ... ne nuit pas ... »  :-)

Bonne nuit aussi.

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir,
L'équation générale d'une parabole est de la forme
$$(ax+by)^2+2cx+2dy+e=0$$avec $a$ et $b$ pas tous les deux nuls et $2abcd\neq a^2d^2+b^2c^2$.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir Michel,

Je retrouve en effet cette structure dans mon expression :

$b^2x^2 + a^2y^2 - 2abxy$ s'écrit $(bx - ay)^2$

$-2 \left( x_f(a^2 + b^2) + ac \right)$ correspond à ton $2c$.

$-2 \left( y_f(a^2 + b^2) + bc \right)$ correspond à ton $2d$.

Et $(a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2$ correspond à ton $e$.

Bonne fin de soirée.
Bien cordialement.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

L'équation réécrite est donc
$(bx - ay)^2 -2 \left[ x_f(a^2 + b^2) + ac \right]x - 2 \left[ y_f(a^2 + b^2) + bc \right]y + (a^2 + b^2)(x_f^2 + y_f^2) - c^2 = 0 $

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Une identité remarquable, c'est fait pour être... remarquée.  :-)

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

avec [...] et $2abcd\neq a^2d^2+b^2c^2$.

Pourquoi cette condition ?

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

En fait, j'aurais dû écrire simplement "où $ad-bc\neq 0$". Cette condition pour dire que la parabole ne dégénère pas en la réunion de deux droites.

alberth

Invité

Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour

cette équations ma intrigué alors je me suis dit si quelqu'un pourrait m'expliquer que veut dire une parabole dans cette équation
Je suis un élève de seconde .

merci beaucoup

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour alberth,

Enfin une intervention d'élève dans ces discussions "entre initiés" semblant "voler haut" !  :-)

Géométriquement, une parabole est l'ensemble des points à même distance d'un point, appelé "foyer", et d'une droite, appelée "directrice". (Un cercle est l'ensemble des points à même distance d'un point, le centre du cercle. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points à même distance des deux extrémités du segment.)

La courbe $y = x^2$ est une parabole car n'importe quel point de la courbe est à égale distance du foyer, dont les coordonnées sont $ \left(0, \dfrac 1 4 \right)$, et la directrice horizontale, d'équation $y = -\dfrac 1 4$.

Malheureusement, on vous dit que la courbe $y = x^2$ est une parabole (Ploum !), sans jamais vous expliquer ce qu'est une parabole. (On pourrait, avec le même succès, vous dire que cette courbe est appelée "Gabuzomeu".  :-)

Pour comprendre pourquoi cette courbe est une parabole, il suffit de calculer séparément la distance entre le point $M(x_0,y_0)$ et le point $F \left(0,\dfrac 1 4 \right)$, et celle entre le point $M(x_0,y_0)$ et son projeté orthogonal $M'$ — c'est-à-dire l'intersection entre la verticale passant par $M$ et la directrice horizontale — de coordonnées $ \left(x_0, -\dfrac 1 4 \right)$.
(Ou plutôt, de calculer le carré des distances, ce qui permet de ne pas trimbaler des racines carrées. Normalement, étant en Seconde, tu sais calculer le carré de la distance entre deux points dans un repère orthonormé car ce calcul est habituellement enseigné en 3ème.)

Dernière modification par Borassus (18-02-2024 10:31:40)

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour,
On peut donner plusieurs définitions de "parabole" :
1) L'ensemble des points équidistants d'une droite $d$ et d'un point $F$ qui n'est pas sur cette droite.
2) Une courbe dont l'équation peut se ramener à $y=x^2$ par un changement de coordonnées.
3) Une courbe image de la parabole d'équation $y=x^2$ par une suite de translations, rotations, homothéties.

Dernière modification par Michel Coste (18-02-2024 10:31:28)

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

De la même façon, il est aisé de démontrer que la courbe $y = ax^2$ est une parabole, le foyer ayant pour coordonnées $ \left(0, \dfrac {1}{4a} \right)$, et la directrice ayant pour équation $y = -\dfrac {1}{4a}$.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Je me souviens de m'être posé le même problème quand j'étais en classe de première (en 1968 !)

Bonjour jelobreuil,

Pour ma part, cela fait longtemps que je me posais la question, et les expressions auxquelles j'aboutissais ne me semblaient pas satisfaisantes car je n'y lisais pas une structure facilement mémorisable, et donc facilement transmissible.

C'est la discussion sur les foyers de l'hyperbole (https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16854) qui m'a incité à régler le sort d'une parabole de foyer et de directrice quelconques.

Bon dimanche.
Bien cordialement.

alberth35

Invité

Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Merci beaucoup

Donc si je comprend bien lorsque l'on calculent les coordonnées d'une parabole on retrouvent toujours  y=x₂ c'est bien ça ?

cordialement Alberth

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir alberth35,

Je ne saisis pas trop ce que tu veux dire par « lorsqu'on calcule les coordonnées d'une parabole, on retrouve toujours y = x^2 ».

Je crois toutefois comprendre : oui, l'équation de toute parabole à axe vertical contient nécessairement un terme en $x^2$.

De même, l'équation de toute parabole à axe horizontal contient nécessairement un terme en $y^2$, la parabole de référence étant alors $x = y^2$.

Enfin, l'équation d'une parabole à axe oblique contient nécessairement un terme en $x^2$ ET un terme en $y^2$.

La réciproque n'est cependant pas vraie : une équation contenant un terme en $x^2$ et un terme en $y^2$ ne représente pas forcément une parabole à axe oblique. Par exemple, l'équation d'un cercle de centre $C(x_c , y_c)$ et de rayon $R$ est
$(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$

Était-ce le sens de ta question ? Ma réponse te convient-elle ?

Cordialement,
Borassus

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Ce que j'écrivais, c'est que pour toute parabole on peut trouver un repère du plan (pas orthonormé en général, mais on peut tout de même demander que les axes soient orthogonaux) dans lequel l'équation de la parabole est $y=x^2$.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonsoir Michel,

Là, tu m'ouvres de nouvelles voies de réflexion !

Si je te comprends bien, on trace une parabole quelconque, orientée comme bon nous semble, et on définit le repère qui va bien ? (alors que la démarche "classique" est inverse : on dispose d'un repère, et on trace dedans la courbe $y = x^2$)

Ce que je ne comprends pas bien, c'est que le repère puisse ne pas être orthonormé, ni même orthogonal.
Le repère orthogonal qui me semble naturel est le sommet, l'axe de symétrie, et la normale par rapport à celui-ci. On peut ensuite régler les unités des deux axes pour effectivement obtenir l'équation $y = x^2$.

Quid d'un repère même pas orthogonal ??

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Je crois toutefois comprendre : oui, l'équation de toute parabole à axe vertical contient nécessairement un terme en $x^2$.

J'avais oublié de préciser : toute parabole à axe vertical d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est le résultat d'une translation horizontale et d'une translation verticale de la parabole $y = ax^2$. Tu verras cela en Première, lorsque vous étudierez la forme dite canonique du polynôme de second degré.

Michel Coste

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Prends n'importe quel repère. La courbe d'équation $y=x^2$ dans ce repère est une parabole.

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Là, tu m'en bouches un coin !! Pourquoi l'Enseignement ne l'enseigne pas, et reste systématiquement cantonné au sempiternel repère orthonormé, même quand il n'y a pas besoin de la notion de distance ?!

Comment le visualiser sur GeoGebra ?

PS : C'est une question que je me suis souvent posée : que devient l'équation $y = x^2$ dans un repère quelconque ? Une parabole "vue en perspective" ?

Bernard-maths

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour !

Pour le plaisir des yeux : https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBthby … -02-19.ggb

Les points A et B sont modifiables pour changer de repère ...

B-m

Borassus

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Re : Une parabole n'est pas forcément de la forme y = ax² + bx +c !

Bonjour Bernard,

Merci pour l'envoi !
Malheureusement, Chrome bloque le téléchargement, estimant que le téléchargement est dangereux. Snif !

Peux-tu m'indiquer comment tu as procédé dans GeoGebra ?