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Bonjour
Le principe de doubler la mise à chaque fois est à la base du paradoxe de Saint-Pétersbourg

Le fait que tout élément de l'ensemble de départ d'une application a une image unique alors qu'un élément de l'ensemble de départ d'une fonction n'a pas forcément d'image n'implique pas que pour certaines fonctions, tout élément de l'ensemble de départ admet une image unique.
Toute application est une fonction mais certaines fonctions ne sont pas des applications.

Bonjour
Il suffit de calculer $f(x+2\pi)$ et de vérifier si cette quantité est égale à $f(x)$ quel que soit $x$, par exemple en développant $(x+2\pi)\sqrt{2}\sin(x)$.

@Black Jack : Où est-ce que j'ai dit que les bases étaient des parallélogrammes?

Bonjour
Tu peux essayer de vérifier si les deux produits semi-directs obtenus sont isomorphes.

@Ernst : Les maths parlent d'objets mathématiques, qui n'ont pas d'autre existence que mathématique. Le formalisme mathématique est le seul moyen de parler de tels objets. Effectivement, il est parfois lourd mais il est nécessaire pour éviter d'en référer à une prétendue intuition qui n'a aucune raison d'être partagée par tous. Concernant la question de ce fil, il est vrai que le principe de récurrence se cache souvent derrière beaucoup d'énoncés intuitifs, et on admet souvent des démonstrations qui omettent la récurrence dès lors que cette récurrence est facile mais pénible à écrire.

Bonjour
Si $\eta$ suit une loi normale centrée réduite, alors $\eta^2$ suit une loi du $\chi^2$ à 1 degré de liberté. Son espérance vaut $1$. Accessoirement, même sans calculs ni connaissances particulières sur les différentes loi de probabilités, on peut remarquer que $\eta^2$ est une variable aléatoire positive, et comme elle n'est pas nulle presque sûrement, son espérance ne peut pas être nulle.

Bonjour
La formule avec le côté adjacent et l'hypoténuse n'est valable que pour le cosinus d'un angle aigu.
Pour définir le cosinus d'un angle quelconque on peut par exemple utiliser le cercle trigonométrique.

Bonjour
Il faut écrire le plan ainsi que les définitions et théorèmes. Les remarques peuvent être données oralement.

Bonjour
Tout d'abord, la dérivée d'une fonction ne peut pas prendre de valeur infinie, tout simplement car une fonction est dérivable en un point si la limite du taux d'accroissement en ce point existe et est finie. Si cette limite est infinie (comme pour la fonction racine carrée en 0), la fonction n'est pas dérivable.
Si tu veux que la dérivée tende vers l'infini en $v_0$, toute fonction qui admet un asymptote verticale d'équation $x=v_0$ et qui est dérivable autour de $v_0$ devrait faire l'affaire si tu la prolonges arbitrairement en $v_0$.
Si tu imposes que la fonction soit continue en $v_0$, tu peux prendre la fonction définie par $f(x)=x\ln(x)$ prolongée par continuité en 0.

Bonjour
Le pgcd et le ppcm me semblent avoir toute leur place dans cette leçon en raison de leurs applications. Quant aux congruences, tu dois pouvoir en parler si tu les introduis avec la divisibilité. Tu pourras alors parler des critères de divisibilité dans les applications.

Si $E$ et $F$ sont deux $\mathbb{K}-$espaces vectoriels de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$, avec $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$, $(f_1,...,f_n)$ une base de $F$ alors l'application linéaire $\varphi : E \rightarrow F$ définie par $\varphi(e_i)=f_i$ pour $1\leq i \leq n$ est un isomorphisme puisqu'il transforme une base en une base.
Réciproquement si $E$ et $F$ sont isomorphes avec $\varphi : E \rightarrow F$ un isomorphisme et $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ alors $(\varphi(e_1),...,\varphi(e_n))$ est une base de $F$ car un isomorphisme transforme une base en une base. Or, le cardinal de cette famille étant $n$, la dimension de $F$ est également $n$. $E$ et $F$ ont la même dimension.