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leila23

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Intégrale bien définie

Bonsoir , qu'est ce qu'une intégrale bien définie ? et comment montrer qu'une intégrale est bien définie ?

DeGeer

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Re : Intégrale bien définie

Bonjour
Difficile de répondre si on ne sait pas de quelle intégrale tu parles. Au lycée, on intègre des fonctions continues sur des segments. Si on sort de ce cadre, c'est là qu'il y a des choses à vérifier. Par exemple, si la fonction a des discontinuités (et n'est pas continue par morceaux) ou si le domaine d'intégration n'est pas borné, il se peut qu'il soit impossible de généraliser l'intégrale. Par exemple, on peut démontrer que la fonction $x \mapsto \lambda e^{-\lambda x} $ avec $\lambda >0$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$ donc que $\int_0^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx$ est bien définie. $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x}dx$ est définie au sens de Riemann comme intégrale généralisée, mais pas au sens de Lebesgue. Au contraire, la fonction $\chi_{\mathbb{Q}}$ définie par $\chi_{\mathbb{Q}}(x)=1$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $\chi_{\mathbb{Q}}(x)=0$ sinon est intégrable au sens de Lebesgue (et d'intégrale égale à $0$) mais pas au sens de Riemann.

Dernière modification par DeGeer (01-04-2025 15:42:55)

leila23

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Re : Intégrale bien définie

Merci beaucoup,j'ai un question ,c'est quoi un intervalle borné?

DeGeer

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Re : Intégrale bien définie

C'est un intervalle de la forme $[a,b]$, $]a,b]$, $[a,b[$ ou $]a,b[$, avec $a<b$ deux réels. D'ailleurs, des problèmes peuvent également survenir dans le cas où les bornes de l'intervalle n'appartiennent pas à l'intervalle.