Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Grégoire.

Je n'ai pas d'idée percutante pour le premier système, et certainement pas avec les outils de la classe de seconde.

Je pose [tex]s=a+b+c+d[/tex]. J'obtiens
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
d^2+sd-420 &=&0\\
b^2+sb-403 &=&0\\
c^2+sc-363 &=&0\\
a^2+sa - 228 &=&0 \end{array} \right.$$
Chaque équation admet deux solutions, une positive, une négative.
$$d = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_d}}2;\quad b = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_b}}2;\quad c = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_c}}2;\quad a = \dfrac{-s\pm\sqrt{\Delta_a}}2\quad,$$
avec
$$ \Delta_d = s^2+420;\quad  \Delta_b = s^2+403;\quad  \Delta_c = s^2+363;\quad  \Delta_a = s^2+228;\quad .$$
J'additionne pour trouver
$$s = -2s + \dfrac12 \left( \pm\sqrt{\Delta_a} \pm\sqrt{\Delta_b} \pm\sqrt{\Delta_c} \pm\sqrt{\Delta_d} \right),$$
Soit
$$6s = \pm\sqrt{\Delta_a} \pm\sqrt{\Delta_b} \pm\sqrt{\Delta_c} \pm\sqrt{\Delta_d}.$$
J'en suis là.
J'imagine [tex]2^4=16[/tex] études de fonctions pour trouver [tex]s[/tex] puis résoudre les quatre équations en gardant en mémoire les valeurs de [tex]\pm[/tex] pour chaque inconnue.

Bref, ce n'est pas simple. Mais j'ai peut-être oublié quelque chose de simple.

Ostap Bender

J'ai remis la main sur ma petite base de parties modèles.

Pour commencer un petit meurtre :
Sereda - Gambarashvili Tiflis (Tbilisi) 1934

1. d4 Cf6 2. Cf3 e6 3. e3 c5 4. Fd3 b6 5. Cbd2 Cc6 6. b3 cxd4 7. exd4 Fb7 8. O-O Cd5 9. c4 Cf4 10. Fb1 Cxd4
11. Fb2 Cde2+ 12. Rh1 Dg5 13. Tg1 Dg4 14. h3 Dh5 15. Fe4 Fxe4 16. Cxe4 Cxh3 17. Ch2

Il y a eu quelques passes d'armes acrobatiques jusque là. Maintenant les Noirs finissent.

Ostap Bender

Bonsoir Fred.

Qu'il n'y ait pas de malentendu :

Tu ne peux tout de même pas démontrer la proposition que j'ai modifiée :

simplement par la divisibilité des coefficients multinomiaux.

Ostap Bender.

Bonjour Freddy,

Théorème chinois sur un site digne de foi...
mais surement aussi appelé théorème des restes chinois, ailleurs.

Ostap Bender

Une (toute petite) généralisation

Soient [tex]a, b[/tex] et [tex] c[/tex] les solutions de l'équation [tex]X^3-X-1=0[/tex].

Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], et tout entier naturel [tex]n[/tex]
[tex]a^{p^n}+b^{p^n}+c^{p^n}[/tex] est divisible par [tex]p[/tex].

Ostap Bender.

Bonjour.

Je me place dans [tex]\mathbb{F}_p[a,b,c][/tex]. D'après Frobenius, j'ai [tex]a^p+b^p+c^p=(a+b+c)^p[/tex].

Reste à démontrer que les polynômes symétriques en [tex]a,b,c[/tex] prennent des valeurs entières aux racines de [tex]X^3-X-1[/tex].

Je me rends compte à l'instant que c'est exactement ce que Fred a écrit...

Ostap Bender

Bonsoir tinhinan.

Il manque effectivement un point clé. Tu dois pouvoir montrer que [tex]I(n)[/tex] n'est pas nul.

Ostap Bender

Bonjour.

Tu peux commencer par regarder le cas d'égalité [tex]f'(t)\color{red}{=} cf(t)^3-d[/tex].

Ostap Bender

Bonsoir milexarc,

Tu intègres par par parties [tex]\int \dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}[/tex] en intégrant [tex]1[/tex] et en dérivant [tex]\dfrac1{1+x^2}[/tex].

Ostap Bender

Bonsoir kadaide.

Oui, à condition de bien quantifier tout cela, et de bien signaler quels théorèmes tu utilises.

Ostap Bender

Et ? (Je ne sais pas si [tex]p[/tex] est un entier. Tu le sais, moi pas)

Ostap Bender

YvesM t'as demandé de traiter des cas particuliers.

Contrairement à lui j'ai choisi de prendre [tex]t \geq 1[/tex], ce que je maintiens : je n'ai pas envie de refaire les calculs.

Peux-tu traiter le cas où [tex]t=1[/tex] ?

Ostap Bender