Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

  Oui, tu peux faire comme cela.
Mais le mieux c'est de remarquer que K=Q(i) est le corps de décomposition sur Q du polynôme X^2+1,
ce qui te donne directement que c'est un corps de nombres.

F.

Tu vois bien ikrame que c'est le genre de message auquel personne ne peut donner une réponse.
Beaucoup de monde serait ravi de t'aider en topologie, mais pour cela il nous faut des questions précises,
des endroits où tu bloques, etc...

Bonsoir,

  Comme pour les équations de degré 2 ou 3, il existe des formules pour exprimer
les racines des polynômes de degré 4 en fonction des coefficients.
Mais cela s'arrête au degré 4... Comme l'ont prouvé
Abel
puis Galois,
il y a des équations de degré 5 qu'on ne peut pas résoudre par radicaux, c'est-à-dire qu'on ne peut pas
exprimer simplement les racines en fonction des coefficients.

  La bonne méthode alors, pour factoriser un polynôme, est souvent de procéder comme tu as fait.
On cherche souvent une "racine évidente" au polynôme, en testant sa valeur en 0,1,2,3,-1,....
Avec un peu de chance, on va pouvoir factoriser par (X-a) et abaisser le degré.
Si le polynôme est à coefficients entiers et qu'on essaie de trouver une racine rationnelle,
on peut calculer P(p/q), avec p et q premier entre eux, et essayer de voir s'il n'y a pas de conditions arithmétiques pour trouver p ou q.

Voila, voila,
Fred.

Bonsoir,

  Moi, j'enseigne parfois la transformée de Laplace mais du côté mathématique
des choses. Je veux bien sûr donner un exemple d'équation différentielle
à résoudre, mais malheureusement pour tous les exemples que j'ai,
c'est presque toujours aussi simple de résoudre directement.
  Quelqu'un a-t-il un vrai exemple ???

Fred.

C'est tellement plus malin!!!
D'où l'intérêt de réfléchir avant d'agir...

Fred.

Je ne suis pas un spécialiste en analyse numérique,
mais pas à ma connaissance.
Cela dit, si votre matrice est creuse,
il n'est peut-être pas si long de lui appliquer un bête pivot???

Fred.

Euh, dans un message de Cleopatre, mais comme j'ai tout lu en diagonale,
je me suis peut-être planté!

Je ne ferai pas mieux que Véro, mais je peux juste signaler que l'exercice
est corrigé dans la base de données d'exercice de la BibM@th...

http://www.bibmath.net/exercices/index.php3

Fred.

Bonjour,

  Je corrige d'abord le résultat demandé :

[tex]\frac{x_1+...+x_n}{n}\geq (x_1x_2...x_n)^{1/n}[/tex]

Tu as bien fait de préciser que tu es en début de prépa, car cela est important pour la réponse.
D'abord, je te propose la version originale de la preuve de Cauchy, trouvée au détour du web :

perso.numericable.fr/brunkarr/DMTermina … trique.pdf

Ensuite, je te propose une preuve classique, basée sur la concavité du logarithme.

1. La première chose à démontrer est que pour tout x,y de [0,+oo[ et tout t de [0,1] on a
  ln(tx+(1-t)y)>=t ln(x)+(1-t)ln(y)
Cette inégalité signifie simplement que la fonction logarithme est au-dessus de ses cordes.
Tu peux la démontrer simplement par une étude de fonctions.
2. Ensuite, par récurrence, tu démontres que pour tous x1,...,xN de [0,+oo[ et tous a1,...,an de [0,1]
avec a1+...+an=1, on a ln(a1x1+...+anxn)>=a1ln(x1)+...+anln(xn)
3. Tu en déduis le résultat en prenant l'exponentielle et une bonne valeur pour a1,...,an.

Pour le deuxième exercice, une idée est d'étudier la fonction f(x)=(cos x)^3+(sin x)^3-1
La dérivée se factorise sans problèmes, on étudie les variations sur chaque intervalle, on
trouve là où il peut y avoir un zéro et on doit sans doute trouver quelle est sa valeur exacte.

F.

Merci pour le lien mort, je crois que c'était le seul mais c'est pas terrible de commencer ainsi....

Oui, LyX, je ne suis pas fan (sûrement que j'ai besoin de bidouiller le code Latex...),
mais je le recommande aux étudiants qui ne vont écrire qu'un mémoire en LaTex.

Salut,

  J'ai une réponse correcte, mais qui n'est sans doute pas celle attendue dans l'exercice.
Considère la fonction f(x)=x^2002-x^2001-x^2000 -1999.
Elle tend vers +oo en +oo et sa valeur en 0 est -1999.
Il existe donc au moins un point a tel que f(a)=0.
Maintenant, la matrice A définie par A=(a) (matrice 1x1) est solution de l'équation demandée.

Fais-nous signe si tu as une réponse plus élaborée...

Fred.

Merci  Galdinx pour les corrections...