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tomktheboss

Invité

inégalité arithmético-géométrique [Résolu]

Bonjour à tous je suis en début de prépa mpsi 1ere année et j'aimerais de l'aide pour démontrer l'inégalité arithmético géométrique c'est à dire :
pour tout x de R+ et tou n de N* : (x1+x2+...+xn)^/n  =  (X1x2...xn)   (où 1,2,...,n sont des indices)

Merci d'avance de m'indiquer la méthode ou l'idée pour cette démonstration svp .

Et puis si vous etes chaud il faut résoudre (cos x)^3 + (sin x)^3 = 1

A+

Fred

Administrateur

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Re : inégalité arithmético-géométrique [Résolu]

Bonjour,

  Je corrige d'abord le résultat demandé :

[tex]\frac{x_1+...+x_n}{n}\geq (x_1x_2...x_n)^{1/n}[/tex]

Tu as bien fait de préciser que tu es en début de prépa, car cela est important pour la réponse.
D'abord, je te propose la version originale de la preuve de Cauchy, trouvée au détour du web :

perso.numericable.fr/brunkarr/DMTermina … trique.pdf

Ensuite, je te propose une preuve classique, basée sur la concavité du logarithme.

1. La première chose à démontrer est que pour tout x,y de [0,+oo[ et tout t de [0,1] on a
  ln(tx+(1-t)y)>=t ln(x)+(1-t)ln(y)
Cette inégalité signifie simplement que la fonction logarithme est au-dessus de ses cordes.
Tu peux la démontrer simplement par une étude de fonctions.
2. Ensuite, par récurrence, tu démontres que pour tous x1,...,xN de [0,+oo[ et tous a1,...,an de [0,1]
avec a1+...+an=1, on a ln(a1x1+...+anxn)>=a1ln(x1)+...+anln(xn)
3. Tu en déduis le résultat en prenant l'exponentielle et une bonne valeur pour a1,...,an.

Pour le deuxième exercice, une idée est d'étudier la fonction f(x)=(cos x)^3+(sin x)^3-1
La dérivée se factorise sans problèmes, on étudie les variations sur chaque intervalle, on
trouve là où il peut y avoir un zéro et on doit sans doute trouver quelle est sa valeur exacte.

F.

yoshi

Modo Ferox

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Re : inégalité arithmético-géométrique [Résolu]

Bonjour,

Je m'apprêtais à questionner sur le premier point : je vois que toutes façons je n'aurais pas su répondre...

Pour le 2e point, après avoir bien bataillé, je crois avoir trouvé une solution "assez bestiale"...
Je pose d'abord :
[tex]t = tan({x \over 2})[/tex]
A partir de là, il vient :
[tex]sin(x) = \frac{2t}{1 + t ^2}[/tex] et [tex]cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t ^2}[/tex]
Que la fête commence !
[tex]cos^3(x) + sin^3(x)= 1[/tex]
devient :
[tex] \left( \frac{1 - t^2}{1 + t ^2} \right)^3 + \left( \frac{2t}{1 + t ^2} \right)^3 = 1[/tex]
ou encore :
[tex] (1 - t^2)^3+ (2t)^3 = (1 + t^2)^3[/tex]
Je passe tout dans le même membre :
[tex] (1 + t^2)^3 - (1 - t^2)^3 - (2t)^3 = 0[/tex]
Comme chuis un peu feignant, et que c'est bien dans mes habitudes (même que je le suggérais à mes mômes, mais peut-être n'était-ce pas sérieux... ) au lieu de développer tout de suite, je factorise d'abord a^3 - b^3 (clin d'oeil à Bob) :
[tex] [(1 + t^2)-(1 - t^2)][(1 + t^2)^2 + (1 + t2)(1 -t^2)+(1- t^2)^2] - (2t)^3 = 0[/tex]
Ce qui me donne :
[tex]2t^2(1 + 2t^2 + t^4 + 1 - t^4 + 1 - 2t^2 +t^4) - 8t^3 = 0[/tex]
Je silmplifie tout ça :
[tex]2t^2(3 + t^4) -8t^3 = 0[/tex]
Je simplifie par 2 et je factorise :
[tex]t^2(t^4 -4t+3) = 0[/tex]
Y a plus qu'à factoriser la parenthèse... heureusement, il y a une solution "évidente".
Toujours flemmard (pas envie d'user de la méthode classique de rfecherche des coeff par identification), je divise le polynôme [tex]t^4 -4t + 3[/tex] par (t - 1) et j'ai de nouveau une solution évidente : 1...

En fin de compte, j'aboutis à :
[tex]t^2(t -1)^2(t^2+2t+3)=0[/tex]

Voilà, ça devrait marcher, non ? Même si c'est probablement plus long que la méthode de Fred...

@+

Itri

Invité

Re : inégalité arithmético-géométrique [Résolu]

SVP, yaurait pas une façon plus simple de l'expliquer ? (pour un niveau Bac)

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : inégalité arithmético-géométrique [Résolu]

Bonjour à tous,
Et si on réfléchissait un peu de bon matin... aux solutions évidentes :
s = 1 et c = 1 => x = 0 ou Pi/2 à 2kPi près.
et il n'y en a pas d'autres car alors :
s^3 < s² et c^3 < c² => s^3+ c^3 < 1
A+

Dernière modification par john (23-11-2007 06:55:37)