Forum de mathématiques - Bibm@th.net

si A est le mathématicien du chevalier et B , le mathématicien du fils du suzerain , lui même futur héritier du domaine , de ce qui en restera , alors A dit ceci à B :

                             _ mon client , comme tu l'a toi aussi deviné , est sûr de posséder au moins un quart du territoire en plaçant son premier pieu en plein milieu d'un coté.
B répond :
                             _ oui , mais si mon client place le second pieu au milieu d'un second coté , toi tu va conseiller ton client de placer son dernier pieu au milieu du 3^ème côté , et là , mon client ne va pas être content parce qu'il va se retrouver avec un domaine coupé en 3 et il n'aura pas d'autre choix que de traverser le terrain de ton client. et ton client aura un max de frontières à surveiller.

à A de répondre:

                              _ moi je te conseille ceci : pour éviter de morceler le territoire , fait placer le pieu du fils sur une extrémité du coté qu'aura choisi mon client pour y placer planter le sien en son milieu .  mon client sera fairplay : au pire , il garde un quart , au mieux la moitier . alors je propose fifty-fifty  :  [tex]\frac38[/tex] pour mon client.

                                                                                                                   à plus.

  toujours en utilisant le dessin poste #2

  si j'inscris à tour de role  un cercle de rayon 3 puis un cercle de rayon 4 à l'intérieur de 2 triangles rectangles homothétiques , alors le rapport d'homothétie de mes 2 rectangles est [tex]\frac{4}{3}[/tex]

d'autre part si b est la demi longueur de mon rectangle , a sa largeur et c , son hypothénus  , je peux d'abord écrire : [tex]\frac43.b = b+4[/tex] qui donne immédiatement [tex]b = 12[/tex]  d'ou L = 24

d'autre part , le rayon du cercle inscrit dans un triangle  rectangle se formule ainsi :  [tex]r = \frac{a + b - c}{2} =\frac{a + 12 - c}{2} [/tex] ---> [tex]c = a + 6[/tex]  ---> [tex]c^2 = a^2 + 12a + 36[/tex]         (1)
          comme on recherche a    on sait aussi que [tex]c^2 = a^2 + b^2  = a^2 + 144[/tex]         (2)

           donc [tex]12a + 36 = 144    --->   12a  = 108  --->  a = 9[/tex]

                                                                                                                à plus.

24 x 9

  soit x la largeur et y  la longueur du grand rectangle : alors

  [tex]x = 4 \times{\left[1 + \frac{1}{\cos{2\arctan{\frac13}}}\right]} = 9[/tex]

   et  [tex]y = \frac{2\times{9}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

je trace le cercle symétrique du petit cercle de gauche par rapport au centre de la diagonale gauche.

j'obtiens ainsi un triangle rectangle dont les cotés de l'angle droit mesurent  OP = 3 & PQ = 1

  ainsi l'angle [tex]\widehat{POQ} = \frac{\alpha}{2} = \arctan{\frac13}[/tex]

  Alors  [tex]\widehat{GDE} = \widehat{FQE} = 2\arctan{\frac13}[/tex]  ---> [tex] QE = \frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}[/tex]

  et [tex]x = GQ + QE =  4 +\frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}  = 4\times{\left[1 +\frac{1}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}\right]} = 9[/tex]

  et  [tex]y =  \frac{2\times{x}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

                                                                                                                        à plus.

1) calculer la valeur exacte de DE . 

   DE  & BC sont parallèles  et [tex]AD = \frac13.AB[/tex] . En appliquant la loi de Thales , alors : [tex]\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{DE}{8} = \frac13[/tex]  --> [tex]DE = \frac83[/tex]

  2) par construction , [tex]\widehat{DBF} = \widehat{FBC} [/tex]  avec la bissectrice BF  et [tex]\widehat{FBC} = \widehat{DFB}[/tex] comme angles alternes - internes .  conclusion : le triangle BDF est isocèle.

  3) le triangle BDF  est isocèle ---> BD = DF  --->  DJ est une médiane  et coté commun aux 2 triangles BDJ & DFJ

     comme DB=DF  &  BJ=JF  alors les 2 triangles sont égaux et DJ  est à la fois médiane , bissectrice & hauteur issue de D pour le triangle BDF .  Le point L étant le symétrique de D par rapport au point J  et DJ  perpendiculaire à BF  , on en conclut que J , étant milieu de BF est aussi milieu de DL  ---> Le quadrilatère BDFL  ayant ses diagonales sécantes en leurs milieu , est un losange.

les diagonales du losange sont aussi les bissectrices des 4 angles du losange , alors [tex]\widehat{DBF} = \widehat{DBC}[/tex]

ainsi  le point L est sur BC.

  4) le point K est sur le demi cercle de diamètre BL  , l'angle [tex]\widehat{BKL}[/tex] inscrit dans le demi cercle , mesure donc un droit. comme l'angle [tex]\widehat{BJL}[/tex]  lui aussi inscrit dans ce même demi cercle.

les 2 triangles BKL & BJL sont donc rectangles.

5)  le point H étant commun aux 2 hauteurs LK & BJ dans le triangle BDL , ce point est l'orthocentre du triangle BDL ainsi BH est perpendiculaire à BL
                                                                                              à plus.

si je projette le point E en I sur la droite suport de AB , puis le point F en J sur cette même droite , j'obtiens 2 triangles rectangles  . Pour démontrer que les points A , E & F sont alignés , il suffit de démonter qu'ils sont homothétiques.  Pour cela il faut vérifier cette proportion :

en posant a le coté du carré .

                             [tex]\frac{AI}{IE} = \frac{AJ}{JF}[/tex]   c'est à dire : [tex]\frac{\frac{a}{2}}{a-a.\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{a + a.\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{a}{2}}[/tex]  .

Et là , avec le produit des moyens et celui des extrèmes :  [tex]\frac{a^2}{4} = a^2 - \frac{3}{4}.a^2[/tex]

les triangles sont bien homothétiques avec Thales  et les points A , E & F sont ainsi alignés.