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yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Problème n°2 : niveau 3e (** + 1/2 étoile)

Bonsoir,

On considère un triangle ABC tel que BC = 8 cm et un point D de [AB] tel que
AD = [tex]\frac 1 3[/tex]AB. La parallèle à (BC) passant par D coupe [AC] en E.
1. Calculer la valeur exacte de DE.
2. La bissectrice de l'angle [tex]\widehat{ABC}[/tex] coupe (DE) en F. Comparer les angles [tex]\widehat{DBF} \text{ et  }\widehat{DFB}[/tex]. En déduire la nature du triangle BDF.
3. On appelle J le milieu de [BF], et L le symétrique de D par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère BDFL ? Démontrer que l appartient à la droite (BC).
4. Le cercle de diamètre [BL] recoupe (AB) en K. Quelle est la nature des triangles BJL et BKL ?
5. Les droites (BJ) et (KL) se coupent en H. Montrer que les droites (DH) et (BL) sont perpendiculaires.

Je n'ai plus le courage de vérifier, ce soir, que ce problème est bien exempt de coquille...
Toutefois, il ne devrait pas y en avoir.

@+

[EDIT]
Pour avoir une idée des savoirs disponibles à ce niveau : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 554#p36554

jpp

Membre

Inscription : 31-12-2010

Messages : 1 170

Re : Problème n°2 : niveau 3e (** + 1/2 étoile)

salut.

▼une réponse

1) calculer la valeur exacte de DE . 

   DE  & BC sont parallèles  et [tex]AD = \frac13.AB[/tex] . En appliquant la loi de Thales , alors : [tex]\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{DE}{8} = \frac13[/tex]  --> [tex]DE = \frac83[/tex]

  2) par construction , [tex]\widehat{DBF} = \widehat{FBC} [/tex]  avec la bissectrice BF  et [tex]\widehat{FBC} = \widehat{DFB}[/tex] comme angles alternes - internes .  conclusion : le triangle BDF est isocèle.

  3) le triangle BDF  est isocèle ---> BD = DF  --->  DJ est une médiane  et coté commun aux 2 triangles BDJ & DFJ

     comme DB=DF  &  BJ=JF  alors les 2 triangles sont égaux et DJ  est à la fois médiane , bissectrice & hauteur issue de D pour le triangle BDF .  Le point L étant le symétrique de D par rapport au point J  et DJ  perpendiculaire à BF  , on en conclut que J , étant milieu de BF est aussi milieu de DL  ---> Le quadrilatère BDFL  ayant ses diagonales sécantes en leurs milieu , est un losange.

les diagonales du losange sont aussi les bissectrices des 4 angles du losange , alors [tex]\widehat{DBF} = \widehat{DBC}[/tex]

ainsi  le point L est sur BC.

  4) le point K est sur le demi cercle de diamètre BL  , l'angle [tex]\widehat{BKL}[/tex] inscrit dans le demi cercle , mesure donc un droit. comme l'angle [tex]\widehat{BJL}[/tex]  lui aussi inscrit dans ce même demi cercle.

les 2 triangles BKL & BJL sont donc rectangles.

5)  le point H étant commun aux 2 hauteurs LK & BJ dans le triangle BDL , ce point est l'orthocentre du triangle BDL ainsi BH est perpendiculaire à BL
                                                                                              à plus.