Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
Sur ce forum, il convient d'employer des formules de politesse telles que "bonjour" et "merci". Par ailleurs, au lieu de demander directement une réponse, il faut montrer ce que l'on a fait pour résoudre l'exercice.
Pour répondre à ta question, il faut supposer que $f$ est continue, et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Non plus sans autres hypothèses sur les fonctions. Par exemple, on peut prendre pour $f$ la fonction constante égale à $1$ et pour $g$ la fonction définie par $g(0)=0$ et par $g(x)=x \times (-1)^{\lfloor \frac{1}{x} \rfloor}$ pour $x \neq 0$, où $\lfloor .\rfloor$ désigne la partie entière.
Si par contre $g$ est continue et ne s'annule pas dans un voisinage de $a$, on a bien divergence en $\pm \infty$.

Bonjour
Tu n'as pas d'information sur le signe de $g(x)$ donc tu ne peux pas connaître le signe du quotient.

Bonjour
Je ne comprends pas tes notations : quel est l'ensemble de départ?
En tous cas, puisque $x^0=1$ pour tout nombre $x$, un nombre autre que 1 dans l'ensemble d'arrivée n'a pas d'antécédent donc la fonction n'est pas surjective, donc pas bijective.

"Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément."
Boileau

Bonjour
Les deux définitions (pointée ou épointée) se valent. L'important est de rester cohérent. Si tu es étudiant, tu dois te référer à la définition de ton cours.
Notamment, avec la définition "pointée", la limite ne peut être que $f(a)$, mais rien ne dit que cette limite existe.
Il y a un petit article intéressant de Daniel Perrin sur la question.

Bonjour
Puisque tu n'as pas donné l'énoncé de ton exercice, tu as obtenu une réponse générale. Tu n'as pas forcément besoin de savoir ce qu'est un point isolé pour résoudre ton exercice.
Soit $A \subset \mathbb{R}$ et $x\in A$. On dit que $x$ est isolé s'il existe $\varepsilon>0$ tel que $]x- \varepsilon, x+ \varepsilon[ \cap A = \{x\}$, autrement dit il existe un voisinage de $x$ qui ne contient aucun autre élément de $A$.

Bonjour
Réciproquement, si $u_n \rightarrow \ell$ alors $|u_n| \rightarrow |\ell|$ par continuité de la valeur absolue (on peut également le démontrer directement sans parler de continuité).

Bonjour
Je ne suis pas un spécialiste de la didactique, mais a priori des références comme Guy Brousseau (Théorie des Situations Didactiques) ou Yves Chevallard (Transposition didactique, théorie anthropologique du didactique) sont incontournables. Sinon, les brochures IREM sont plus utilisables dans le cadre de l'enseignement, et donc de la préparation du CAPES.
Par contre, il ne faut pas passer trop de temps de préparation là-dessus (notamment sur la théorie). En l'état actuel des choses, la sélection se fait principalement sur les connaissances mathématiques (la plupart des candidats obtiennent des notes supérieures à la barre d'admission aux épreuves pédagogiques et à l'entretien).
Sinon, au vu de ton profil, tu peux tenter l'agrégation externe spéciale. C'est un concours réservé aux titulaires d'un doctorat, et qui est peut-être moins exigeant en termes de niveau mathématique que l'agrégation standard, mais il y a très peu de postes.

Bonjour
La réponse que tu as trouvée est la bonne. Celle que t'a donnée l'IA aussi. Il suffit de distinguer dans la formule donnée par l'IA le cas n pair et n impair pour retrouver ta formule.
Pour obtenir la formule donnée par l'IA, ce n'est pas une suite récurrente linéaire d'ordre 1 en raison du n dans la formule. Tu peux t'inspirer des suites arithmético-géométriques en étudiant la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_n=u_n - \frac{n}{2}$.
Moralité : il faut se méfier des réponse de l'IA.

Bonjour

Bonjour
Difficile de répondre sans informations sur $f_t$.