Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Dlzlogic.

Peux-tu donner un exemple de nombre transcendant qui ne comporte que des décimales égales à 0 ou à 3 ?

Ostap Bender.

Bonjour.

Ce sont des questions de philosophie, pas de mathématiques.

1/ Le hasard cherche encore une définition mathématique, depuis l'article d'Emile Borel de 1948 (Les grands courants de la pensée mathématique)

2/ Le jeu de pile ou face est-il un jeu de hasard ? Bonne question. Le fait est qu'il se modélise bien à l'aide des probabilités. Une fois cette modélisation faite, on peut commencer les mathématiques.

3/ Même chose pour la roulette, mais jusqu'à un certain point seulement. Le croupier annonce la fin des jeux à partir du moment où lui sait, à quelques cases près, dans quelle case la boule va tomber.

4/ Pour la mourre ("Pierre-Feuille-Ciseaux" ) c'est une autre histoire. C'est un jeu de brigands où interviennnent des facteurs psychologiques : analyse des séquences de l'adversaire, expressions corporelles, retard coupable pour présenter sa main. Tout cela me parait difficile à modéliser.

5/ Dans le jeu d'échecs, c'est encore plus difficile à modéliser : entre le joueur coincé dans les cabinets, l'adversaire qui vous récite une variante que vous avez analysé l'après-midi même avec vos copains, etc. les événement rares peuvent faire basculer le résultat d'une partie.
La grosse différence entre la mourre et les échecs, c'est que les échecs sont à information complète, en ce qui concerne le déroulement de la partie.
Avant la partie, il y a la phase de préparation où le "hasard" peut jouer bien des tours.

6/ Pour moi, jeu de hasard s'applique à un jeu pour lequel on a une bonne modélisation. "Bonne" restant à définir.

7/ Ces questions sont cruciales à une époque où, dans l'apprentissage des probabilités au collège et au lycée, de nos jours les programmes mélangent sauvagement situation réelle et modélisation, la modélisation semblant aller de soi, ce qui n'est bien sûr pas le cas.

Ostap Bender.

Bonjour Antoine.

Imaginons que ta famille [tex]v_1,\ldots,v_m[/tex] soit génératrice de [tex]{\mathbf R}^n[/tex], ce qui est presque toujours le cas, tu n'auras pas de choix : Seule la matrice [tex]A=0[/tex] sera solution du problème.

Sinon tu peux chercher une base [tex]w_1,\ldots,w_p[/tex] de l'espace engendré par [tex]v_1,\ldots,v_m[/tex], par une méthode de Gauss par exemple, et te ramener au cas précédent.

Ostap Bender

Bonjour Samo.

Sais-tu calculer, pour [tex]x[/tex] réel, les sommes [tex]\sum_{k=1}^n x^k[/tex] , [tex]\sum_{k=1}^n kx^k[/tex] et [tex]\sum_{k=1}^n k^2x^k[/tex] ?

Ostap Bender

Qu'il n'y ait pas de malentendu.

Tu peux me rappeler la dérivée de [tex]x\longmapsto\dfrac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}[/tex] ?

Ostap Bender

Le calcul direct de [tex]\int_0^{\pi/2}n\sin x(\cos x)^n\,\mathrm dx[/tex] ne me parait très difficile.

Tu auras ainsi la réponse à ta question, à savoir est-ce que la convergence est uniforme sur[tex][0,\pi/2][/tex].

Ostap Bender

Bonjour freddy,

Je traduis en termes d'applications linéaires. Soit [tex]E = \mathbf R^n[/tex] et [tex]u[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex].
Dire qu'il existe un endomorphisme [tex]v[/tex] de [tex]E[/tex] tel que [tex]u\circ v = Id_E[/tex] c'est dire que [tex]u[/tex] est surjectif.
Dire qu'il existe un endomorphisme [tex]v[/tex] de [tex]E[/tex] tel que [tex]v\circ v= Id_E[/tex] c'est dire que [tex]u[/tex] est injectif.

Autrement dit, il s'agit de dire que - dans le cadre des endomorphismes - on a équivalence entre injectif, surjectif et bijectif.

C'est une conséquence du théorème "trois pour le prix de deux":
Dans un espace de dimension [tex]n[/tex], si une famille vérifie deux des trois propriétés:
1) elle est libre.
2) elle est génératrice.
3) elle a [tex]n[/tex] éléments
alors elle vérifie la troisième. Ce n'est pas évident du tout, même si on s'habitue très vite à cette propriété très confortable.

Maintenant, plaçons dans le cas où [tex]E[/tex] est un ensemble, [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] des applications de [tex]E[/tex] dans [tex]E[/tex].
La propriété vue plus haut (injectif c'est surjectif et inversement) n'est plus vraie en règle générale.
Elle ne redevient vraie que si [tex]E[/tex] est fini.

Je termine en disant qu'il existe des démonstrations (presque) purement matricielles de la propriété énoncée par Cirdec/Hauchecorne.

Ostap Bender

Un lien vers ce document.

Ostap Bender

Juste pour signaler une page du pointilleux Edward Winter consacrée au mat étouffé.
C'est en anglais, avec un peu d'espagnol.
Les solutions sont plus acrobatiques que techniques.

Ostap Bender

Bonjour Adrien.

Je t'ai envoyé sur une fausse piste. Ta matrice [tex]Q[/tex] n'est pas à coefficients dans [tex]\mathbf Z[/tex] et aucune n'est inversible...

Ostap Bender.

Bonjour hcoutant.

Tu peux penser aux symétries orthogonales, par exemple sous forme complexe.
Sinon que peux-tu dire de [tex]\phi^4[/tex] ?

Ostap Bender

Je suis parti du principe que la solution est à la portée d'un elève de seconde. C'est pour cela que dans ma première méthode, j'allais supposer que toutes les solutions étaient positives. Ici j'ai supposé de plus qu'elles étaient entières.

En reprenant la méthode de Yoshi, j'ai effectué les six soustractions qui me donnent
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
(a+c)(b-d) &=&17\\
(b+d)(c-a) &=&135\\
\ldots &=& \ldots
\end{array}\right.$$
Pour avoir un produit d'entiers égal à [tex]17[/tex] je n'ai pas beaucoup de choix : [tex]d-b = 1[/tex] et [tex]a+c=17[/tex].

En reportant dans l'autre équation :
[tex](2b+1)(2c-17)=135=27\times5[/tex].
Un coup de pifomètre m'a donné [tex]2b+1=27[/tex] et [tex]2c-17=5[/tex] comme solution possible (mais il y en a d'autres !)
J'en déduis les valeurs de [tex]a,b,c[/tex] et [tex]d[/tex] et bingo ! ça marche.

Reste à savoir s'il y en a d'autres.

Tout cela n'est pas très rigoureux : Pifomètre et coup de chance.

Ostap Bender