Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je persévère un peu : je note $M$ la matrice $N\times N$ définie par
$M_{ij} = 1$ si le chemin va de la ville $i$ vers la ville $j$.
$M_{ij} = 0$ sinon.

Ainsi, le coefficient $(i,j)$ de la matrice $M^k$ donne exactement le nombre de chemins allant de la ville $i$ vers la ville $j$ en $k$ étapes.

La question est donc de savoir si une des lignes (disons la ligne $i_0$) de la matrice $\mathrm{Id}+M+M^2$ ne contient aucun $0$ : si c'est le cas alors depuis la ville $i_0$ on pourra atteindre toutes les autres villes en $0$, $1$ ou $2$ déplacements.

Je m'arrête la pour l'instant mais je continuerai peut être !

Roro.

P.S. J'ai inversé les flèches : je suis en train de répondre à la question : existe-t-il une ville à partir de laquelle on peut aller vers toutes les autres en au plus deux déplacements. Pour répondre à la question initiale (qui était "existe-t-il une ville qui est atteignable depuis n'importe laquelle des autres villes en deux déplacements", il suffit d'inverser le sens des déplacements dans mon raisonnement).

Bonsoir,

Il est peut être intéressant d'écrire le problème en utilisant la matrice d'incidence du graphe (cf ici).

Dans le cas présent, cette matrice est antisymétrique... mais je n'ai pas plus creusé !

Roro.

Bonsoir,

A mon avis, il suffit d'utiliser ledit changement de variable : $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$.
Tu as donc $dx=\cos \theta dr - r\sin \theta d\theta$ et $dy=\sin \theta dr + r\cos \theta d\theta$.

Roro.

P.S. Pour Yoshi : je pense que cette discussion aurait plus sa place dans le forum "Entraide supérieur"...

Bonjour,

En effet Bernard, l'équation $x+|x|=0$ est vraie si et seulement si $x\ge 0$... tu as raison.

Par contre, cette équivalence me semble très "instable" numériquement.

Je m'expliques : si au lieu de résoudre $x+|x|=0$ tu résous, pour $\varepsilon>0$ fixé (petit !), l'équation $x_\varepsilon+|x_\varepsilon|=\varepsilon$ alors tu n'auras pas du tout l'inégalité $x_\varepsilon\ge 0$ mais plutôt l'égalité $x_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{2}$.

Peut être qu'il faut regarder de ce coté ?

Roro.

On mélange un peu tout. Je demandais de résoudre $\max(|x|,|y|)=1$ lorsque $x>y>0$.

Une réponse :
Si $x>y>0$ alors (comme tu l'as dit) $\max(|x|,|y|)=x$. Dans ce cas $\max(|x|,|y|)=1 \Longleftrightarrow x=1$.

Géométriquement, dans le huitième de plan $\{(x,y) ~; ~ x>y>0\}$ l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $\max(|x|,|y|)=1$ est le segment $\{(1,y), 0<y<1\}$.

En faisant la même chose dans chacun des huitièmes d'espace tu vas obtenir la forme de la sphère pour le norme de l'exercice.

Une autre réponse plus directe :
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow \Big( |x|<1 \text{ et } |y|<1 \Big) $$
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow \Big( -1 < x <1 \text{ et } -1 < y < 1 \Big) $$
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow (x,y) \in ]-1,1[^2$$
La boule est donc représentée par le carré $]-1,1[^2$.

Roro.

Bonsoir,

Qu'est ce que tu as essayé ?

Pour commencer, sais-tu trouver tous les éléments $x$ et $y$ positifs tels que $\max(|x|,|y|)=1$ ?

Roro.

Bonjour,

Si tu ne mets pas les parenthèses au bon endroit, on ne peut pas comprendre...

Ré-écrit correctement ta fonction pour qu'on sache exactement de quoi tu parles (et tu peux le taper en Latex, ce sera plus simple).

Sinon, si tu trouves $0$ c'est que tu n'es pas allé assez loin dans l'ordre de ton développement.

Roro.

Bonjour,

Etant donné que le nombre d'or $\Phi$ est la racine positive de $x^2-x-1=0$, autrement dit de $x=1+\displaystyle \frac{1}{x}$, la suite définie par récurrence par $u_{n+1} = 1+\displaystyle \frac{1}{u_n}$ converge vers $\Phi$...

Je pense que c'est hyper classique et qu'on doit trouver ça dans des exercices du lycée (enfin, peut être en L1 maintenant car il faut regarder les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$...)

Roro.

Bonjour,

Oui, un Mac sera bien.
Il faudra juste voir avec quel outil est proposé le distanciel, mais tous les PC se sont adaptés.
Par curiosité, à quel endroit propose-t-on une licence de maths tout à distance ?

Roro.

Si tu as une égalité $a=b$ alors tu peux multiplier chaque coté par n'importe quelle nombre sans changer l'égalité :
$$a=b \quad \Longrightarrow \quad \Big( \forall \lambda \in \mathbb R \quad \lambda a = \lambda b \Big).$$

Je ne comprend pas trop où tu veux en venir, mais tu peux considérer cette formulation un peu plus générale :
$$\frac{\partial}{\partial x} \int_0^{a(x)} f(t)dt = a'(x)\Big( \int_0^{a(x)} f'(t) dt + f(0) \Big)$$
qui te redonne les deux cas selon que tu choisisses $a(x)=x$ où $a(x)=constante$.

Roro.

Bonsoir,

Oui, on peut sans doute t'aider (dans la limite de nos possibilités), mais il faudra que tu y mettes un peu de tiens : l'objectif est que tu comprennes et que tu saches le faire toi-même...

Roro.