Boule unité

beubeunoit · 23-03-2023 17:34:24

Bonsoir,

Je voulais savoir la réponse à la question mais surtout quels cours revoir pour pouvoir y répondre :

"Dans R^2, on définit la norme ||(x,y)||=max(|x|,|y|), à quoi va ressembler la boule unité ?"

Merci d'avance de vos réponses !

Roro · 23-03-2023 18:30:22

Bonsoir,

Qu'est ce que tu as essayé ?

Pour commencer, sais-tu trouver tous les éléments $x$ et $y$ positifs tels que $\max(|x|,|y|)=1$ ?

Roro.

beubeunoit · 23-03-2023 18:34:47

J'ai pensé à cercle mais finalement je pense c'est plutôt un polygone quelconque ?
Les couples (1,1) , (1,0) et (0,1) semblent convenir à ta question

Roro · 23-03-2023 20:29:44

Re,

beubeunoit a écrit :

J'ai pensé à cercle mais finalement je pense c'est plutôt un polygone quelconque ?

Un polygone : oui, quelconque : non !
Pourquoi penses-tu ça ?

beubeunoit a écrit :

Les couples (1,1) , (1,0) et (0,1) semblent convenir à ta question

Exact. Mais il y a d'autres valeurs possibles comme $(1,0.3)$...

Tu peux regarder ce qu'il se passe lorsque $x>y$.

Roro.

beubeunoit · 23-03-2023 21:33:58

Un polygone car avec les valeurs absolues on aura un plan délimité par des droites ?
Si x>y alors max(|x|,|y|)
=x si x>0
=y si x<0

Roro · 23-03-2023 21:52:15

On mélange un peu tout. Je demandais de résoudre $\max(|x|,|y|)=1$ lorsque $x>y>0$.

Une réponse :
Si $x>y>0$ alors (comme tu l'as dit) $\max(|x|,|y|)=x$. Dans ce cas $\max(|x|,|y|)=1 \Longleftrightarrow x=1$.

Géométriquement, dans le huitième de plan $\{(x,y) ~; ~ x>y>0\}$ l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $\max(|x|,|y|)=1$ est le segment $\{(1,y), 0<y<1\}$.

En faisant la même chose dans chacun des huitièmes d'espace tu vas obtenir la forme de la sphère pour le norme de l'exercice.

Une autre réponse plus directe :
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow \Big( |x|<1 \text{ et } |y|<1 \Big) $$
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow \Big( -1 < x <1 \text{ et } -1 < y < 1 \Big) $$
$$\max(|x|,|y|)<1 \Longleftrightarrow (x,y) \in ]-1,1[^2$$
La boule est donc représentée par le carré $]-1,1[^2$.

Roro.

Bernard-maths · 24-03-2023 07:40:53

Bonjour à tous !

max(lxl, lyl) = 1 est une équation du carré délimité par les 2 droites d'équations lxl = 1, donc x = 1 et x = -1, et les 2 droites y = 1 et y = -1.

max(lxl, lyl) < 1 est l'intérieur strict de ce carré.

La boule unité doit donc correspondre au carré (polygone) ...

Bernard-maths

beubeunoit · 24-03-2023 19:59:38

Bonjour,

Merci pour vos réponses.
Est-ce qu'il y a une méthode à connaitre pour savoir représenter des boules unités plus complexes ?

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