Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci de ta réponse,

J'avais proposé dans une autre discussion les courbes de Bézier utilisées par la majorité des logiciels graphiques.

Dans leur principe, il s'agit principalement de géométrie vectorielle simple, avec à la clé la notion de barycentre.

Bonsoir,

Je me permets d'ajouter au rappel de Roro que pour tout polynôme, quel que soit son degré et quels que soient ses coefficients, l'image du conjugué d'un nombre est égale au conjugué de l'image de ce nombre :
$P(\overline {z}) = \overline {P(z)}$

Ce qui entraîne que si un nombre complexe est solution de l'équation $P(z) = 0$, son conjugué est nécessairement aussi solution de cette équation.

Ce qui signifie aussi que les solutions complexes de l'équation $P(z) = 0$ vont obligatoirement par paires.

Par exemple, un polynôme de degré 5 pourra avoir

• une racine réelle et deux paires de racines complexes,

• ou trois racines réelles et une paire de racines complexes,

• ou cinq racines réelles

(le nombre de racines d'un polynôme est égal à son degré)

mais ne pourra pas avoir deux ou quatre racines réelles [ajouté : ni zéro racine réelle]

Bonsoir Ricardo, ainsi qu'à ceux qui entrent dans cette discussion,

Visiblement, tu t'es trompé de discussion, et ton message concernait la discussion que tu as toi-même initiée.  :-)

Je rappelle la problématique que j'ai proposée plus haut :

Le calcul de l'aire d'un disque est juste un exemple parmi d'autres (revoir mon poste #3).

Bonjour Elric, bonjour vous autres,

Bien que le sujet soit "prêt à l'emploi" — je l'avais travaillé l'année dernière avec une élève ; malheureusement, car c'était un sujet vraiment intéressant qui lui plaisait beaucoup, ce n'est pas ce sujet qu'elle a tiré —, il me semble important que tu fasses préalablement des recherches par toi-même afin de comprendre "comment ça marche".
Ensuite écris ce que tu as compris — dans une nouvelle discussion —, je pourrais alors te fournir les explications complémentaires.

Autre sujet que je peux te proposer :
En Terminale, vous voyez comme courbe paramétrique que la droite dans l'espace.
Pourtant, le domaine des courbes paramétriques, en deux ou en trois dimensions, est très riche, et permet d'obtenir des courbes autrement plus jolies et intéressantes que les simples courbes de fonction car elles permettent "des retours en arrière".
(Par exemple, un cercle de rayon $R$ et de centre $(x_0 \:;\: y_0)$ a pour représentation paramétrique $x = x_0 + R\cos t \,;\, y = y_0 + R\sin t$. La représentation paramétrique d'une ellipse est $x = a\cos t \,;\, y = b\sin t$ ; si $a = b = R$, on retrouve la représentation paramétrique du cercle.)

Parmi elles, il y a les courbes de Lissajous https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ajous.html qui, outre les formes variées des courbes, présentent des excellents exercices de trigonométrie pour déterminer le point de départ, le sens de rotation, les points correspondant aux valeurs remarquables du paramètre. (Je donne parfois des exercices portant sur des courbes simples.)

Les courbes de Lissajous peuvent être traitées comme exemple de courbes paramétriques.
Mais elles peuvent aussi faire l'objet d'un sujet à elles seules.

Autre sujet que je peux te proposer, l'utilisation de l'intégrale simple pour calculer des aires et des volumes, et bien d'autres choses, avec extension vers les intégrales doubles et triples. (Je donne parfois à mes élèves de Terminale des intégrales doubles ou triples plus ou moins fantaisistes ; une fois qu'ils ont compris le principe, ils s'en tirent très bien.)

Encore un sujet : La dérivation de fonctions à plusieurs variables, et les notions qui s'ensuivent, gradient notamment https://www.bibmath.net/dico/index.php? … dient.html

Tu vois, tu as matière à choisir !

Bonne journée
Bien cordialement

Bonjour Elric,

Est-ce que ça te dit un sujet sur les courbes de Bézier utilisées dans tous les logiciels de dessin ?

Le sujet est tout prêt, avec documents explicatifs à l'appui.

Bonjour Jean-Louis,

Merci de ton retour, et d'avoir régulièrement suivi la discussion, même superficiellement.

Ce que tu évoques est peut-être un élément de réponse : nous sommes dans un forum de maths, et on n'a pas forcément en maths la perception de la justesse physique d'expressions mathématiques traduisant des phénomènes physiques.

La "mathématisation" de la physique pose d'ailleurs parfois problème car on peut facilement, si on n'y prend pas garde, écrire des expressions justes sur le plan de la mathématique, mais fausses sur le plan de la physique.
Par exemple, le nombre $1$ n'a pas d'unité en maths et peut donc être omis dans un produit ; en physique, le nombre $1$ a obligatoirement une unité, et l'omettre dans un produit mène à des expressions bancales du point de vue de l'analyse dimensionnelle.

(J'avais dans un post mentionné un remarquable prof de physique — qui avait plus d'étudiants dans l'amphi en fin d'année qu'en début... — qui racontait, qu'étant prof à Centrale, il voyait des élèves ingénieurs de cette école calculer des expressions mathématiques censées modéliser la vitesse de rotation d'un ventilateur allant, si on les traduit concrètement en chiffres, de 1 tour par minute jusqu'à... 10⁹ tours par seconde, sans le moins du monde se rendre compte de ce qu'ils écrivaient.)

Ce qui me dérange profondément dans cette histoire, c'est comment un élève de Terminale, n'ayant visiblement pas vraiment assimilé certaines notions de maths et de physique, a pu à ce point fausser un raisonnement censé être collectif — même si la discussion a été quasiment un dialogue exclusif entre lui et moi — sur la seule base d'une formule fondamentalement fausse pêchée dans des articles qu'il avait vus, et qu'il n'a même pas pris le soin de citer !!

Bien amicalement, Bor.

J'espère qu'il ne donnera pas autant de fil à retordre...   :-)

Non, vu la fonction, tu dois d'abord utiliser le corollaire d'un point de vue strictement mathématique, et ensuite utiliser le TVI d'un point de vue pratique.

Le passage se fait selon la logique suivante :  si tu limites par exemple une latitude à deux décimales, il y a une infinité de valeurs de $phi$ qui correspondent à cette latitude. (Le corollaire ne réunit pas deux valeurs très proches : pour lui, il s'agit de valeurs strictement différentes, quel qu'en soit le nombre de décimales.)

Contrairement aux apparences, le sujet central de ton oral n'est pas la rotation du pendule de Foucault, mais bien le TVI.
Il faut donc que tu bétonnes ton raisonnement, car c'est là-dessus que le prof de maths du jury peut te déstabiliser.

Si, pour le corollaire, il faut montrer que la fonction, et donc la courbe, est strictement monotone !

Mais tu "remontes" ensuite au TVI — le corollaire est un "sous-produit" du TVI — en précisant qu'à l'échelle du globe, le corollaire n'a pas de sens, et que donc c'est le TVI qui s'applique.

Effectivement, je n'avais pas cherché à visualiser les courbe $y = f(x)$ et $y = x$ et à faire démarrer la suite à 1. (Et je n'avais pas non plus suffisamment mémorisé le début de la discussion.)

L'équation $f(x) = x$ possède deux solutions : $-2$ et $7$.
Si la suite converge, la suite converge obligatoirement vers l'un de ses deux points fixes.
Peut-être essayer de démontrer par l'absurde qu'elle ne peut converger vers $-2$ ?

Oui, comme Le_R l'a semble-t-il fait, il faut démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique. (Pour cela, il faut écrire $u_n$ en fonction de $v_n$.)

Cela permet d'écrire le terme général $v_n$ en fonction de $n$, et d'en déduire le terme général $u_n$, ce qui permet de déterminer sa limite égale à $7$.

Je comprends maintenant, Roro, pourquoi l'ordre des questions pose problème.

Peut-être faut-il étudier tout simplement la suite définie par $u_n - 7$ et montrer qu'elle tend vers 0 ?

Bonsoir Roro,

Merci de ta réponse.

La question est bien compatible avec la méthode que j'indique :
il faut essayer de démontrer l'un des deux encadrements entre 1 et 7, ou entre -2 et 1. (La suite $(v_n)$ indique d'emblée les valeurs devant être utilisées.)

Ce genre d'exercice se résout très couramment en démontrant par récurrence l'un des deux encadrements suivants, $\alpha$ et $\beta$ étant les deux points fixes de la suite, avec $\alpha < \beta$ :

• $u_0 \le u_n \le u_{n+1} \le \beta$    la suite est alors croissante et est majorée par $\beta$, donc converge vers une limite inférieure ou égale au majorant $\beta$ ;

• $\alpha \le u_{n+1} \le u_n \le u_0$    la suite est alors décroissante et est minorée par $\alpha$, donc converge vers une limité supérieure ou égale au minorant $\alpha$.

La limite se calcule en résolvant l'équation en $l$  $f(l) = l$.   (A la limite, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont indiscernables.)

Cette équation a deux solutions, l'une étant à l'extérieur de l'intervalle formé par $u_0$ et $\beta$, ou à l'extérieur de l'intervalle formé par $\alpha$ et $u_0$.

Comme la suite ne peut admettre qu'une seule limite, la "bonne" limite est celle se trouvant d'ans l'intervalle ad hoc.