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Bonjour,
j'ai découvert un concept que je ne connaissais pas : Les nombres presque entiers.
C'est peut-être en rapport avec l'exercice ci-dessus.

Voir l'article de Wikipedia ici

Bonsoir,
Si $f \in C^1(\mathbb{R})$ alors $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, il n'y a pas besoin de citer les deux conditions, la première est suffisante.

1-  Non, on n'a pas besoin de la dérivabilité en $a$. La continuité de $f$ en $a$ permet de garantir que $f' \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, ce qui donne un sens à $T_{f'}$ et, par application de la formule des sauts, on aura $(T_f)' = T_{f'}$.

2- Si l'ensemble des discontinuités peut s'écrire comme $\cdots < a_{-m} < \cdots < a_0 < \cdots < a_n < \cdots$, alors la formule des sauts reste valable. Sinon, la formule ne s'applique pas. Dans ce cas, la seule formule applicable est $\langle (T_f)', \varphi \rangle = -\langle T_f, \varphi' \rangle$.

Alors, c'est encore plus faux !
Si $\varphi'(2k\pi) = \varphi'(0)$, alors $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi'(2 k \pi)= \varphi'(0)\sum_{k \in \mathbb{Z}} 1 = \pm\infty$
Je dis que $\varphi'(2k\pi) = 0$ pour $k \neq 0$ car $2k\pi$ est en dehors du support de $\varphi$ et donc également en dehors du support de $\varphi'$.

1- Est-ce que tu sais calculer $\overline{\mathbb{R}\setminus\{a\}}$ où $a$ est un réel quelconque ? Est-ce que tu sais calculer $\overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}$

4- ça vient tout simplement de contraposées : Si $P \implies Q$, alors $\neg Q \implies \neg P$.
Remplace d'abord $P$ par "$\varphi(x) \neq 0$" et $Q$ par "$x \in Supp(\varphi)$". Tu obtiens donc par contraposée que $x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c \implies \varphi(x)=0$.
Ensuite, remplace $P$ par "tout voisinage $\mathcal{V}_x \ni x$ contient un point $y$ tel que $\varphi(y)\neq 0$" et $Q$ par "$x \in Supp(\varphi)$", tu obtiens par contraposée que $x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c \implies \exists \mathcal{V}_x \ni x$ tel que $\varphi(\mathcal{V}_x) = \{0\}$.

Regarde bien l'exemple que j'ai donné sur la fonction $\sin(x)$.
Est-ce que tu comprends pourquoi $Supp(\sin)=\mathbb{R}$ ?
Est-ce que tu vois que l'ensemble $E$ tel que définit pour $\sin(x)$ est un ensemble de points discrets ? Donc, pour chaque point $E$, tu ne sais pas ce qui se passe au voisinage du point (au voisinage veut dire arbitrairement proche).

Ce qui fait la différence, c'est que le support est l’adhérence des points où la fonction est non nulle. Le mot l’adhérence est très important dans cette définition.
Le support peut contenir des points où la fonction est nulle. Mais, du fait de l'ajout de l’adhérence à la définition, si un point est dans le support, la fonction ne peut pas être nulle sur tout un voisinage du point.
Par miroir, si un point se trouve en dehors du support, donc dans le complémentaire du support, alors non seulement la fonction est nulle en ce point, mais elle est également nulle sur un voisinage autour du point (parce que sinon, ce serait un point adhérent au support, et devrait donc être dans le support).

1- Non, c'est incorrect. Prends la fonction $\sin(x)$, elle s'annule sur tous les points $k\pi$, donc $E=\pi\mathbb{Z}$ et $Supp(\sin)=\mathbb{R}$, donc $\left(Supp(\sin)\right)^c = \emptyset$. Le support d'une fonction peut contenir des points où la fonction est nulle.

2- Tu dis une énormité ! Ce n'est pas parce que $f(x)=0$ que $f'(x)=0$ !!!
Prends la plus simple des fonctions, l'identité. Alors $Id(0) = 0$ et $Id'(0)=1$.
La valeur d'une fonction en un point est une information ponctuelle. La dérivé au même point est une information qui dépend de l'évolution de la fonction autour du point (au voisinage du point). Connaitre la position d'un objet ne nous renseigne pas sur sa vitesse. Mais connaitre sa position à des instants très proches nous renseigne sur sa vitesse.
Si tu as du mal avec ça, tu aura du mal avec la théorie des distributions dont l'objet est justement de ne plus regarder la valeur d'une fonction en un point (il n'existe pas de notion de $T(x)$ où $T$ est une distribution) mais de s'intéresser plutôt à son action sur des fonctions test.

Bonjour et Bonne Année à tous !

1- Fais un schéma et tu verras. Après, tu pourras formaliser en disant qu'un intervalle symétrique est de la forme $[\dfrac{\pi}{2}-d, \dfrac{\pi}{2}+d]$ et montrer que tu peux également l'écrire sous la forme $[a,\pi-a]$

2- Pour comprendre, essaie de regarder les différences entre les deux énoncés suivants :
On note $E=\{ x \in \mathbb{R}\ | \ \varphi(x)=0\}$ (ensemble des points où $\varphi$ est nulle).

a- $\forall x \in \left(Supp(\varphi)\right)^c,\ \varphi'(x)=0$
b- $\forall x \in E,\ \varphi'(x)=0$

Le premier est juste et le second faux.

Je ne comprends pas trop ce que tu dis.
Quand tu obtiens les valeurs de $a$ et $b$ avec la méthode multiplicative, tu a l'identité $f(x)=\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1,-1\}$.
C'est donc valable pour $n=2$, $3$ ou $4$,... qui contrairement à ce que tu dis sont aussi des réels : $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$.

Bonsoir,
Avec le théorème de Taylor, on sait que si $f(x)$ est dérivable $n$ fois en $x_0$, alors elle admet un DL d'ordre $n$ en $x_0$.
Il s'agit donc de vérifier la dérivabilité de $f$, ce qui revient à pouvoir dériver sous le signe somme. Donc, selon la fonction $g$, il sera possible d'inverser dérivée et intégrale (voir ici sur Bibm@th pour les conditions).
Pour la dérivé première, tu as $f'(x)=\int \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,t)dt$
Donc, modulo les conditions d'inversions dérivée/intégrale, ça revient bien à ce que tu dis.

Le fait que $\varphi(2\pi)=0$ net permet aucune conclusion sur $\varphi'(2\pi)$.
$\sin(2\pi)=0$ et pour autant $\sin'(2\pi)=\cos(2\pi)=1$.

Presque !
L'argument est que $\varphi$ est nulle au voisinage des points $2k\pi$ avec $k \neq 0$, c'est ça qui permet d'avoir $k \neq 0 \implies \varphi'(2k\pi)=0$.
On peut avoir une fonction avec $f(2\pi)=0$ et $f'(2\pi)\neq 0$.

Il faut donc remplacer $\exists ! k$ tel que $\varphi(2k\pi) \neq 0$ par $\exists ! k$ tel que $\varphi$ non nulle au voisinage de $2k\pi$.

Le but est de montrer que g esi discontinue en $2\pi$. Donc, une approche est de montrer que $\lim_{x \to {2\pi}^-} g(x) \neq g(2\pi)$.
On sait calculer la limite puisque'on connait l'expression de $g$ sur $[0,2\pi[$.
Pour calculer $g(2\pi)$, on utilise le fait que $g$ est périodique, donc $g(2\pi)=g(0)=0$.
On conclue que $g$ est discontinue.