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yanlou

Invité

Décomposition d'une fraction rationnelle

Bonjour ,
SVP quant est ce que je peux utiliser la méthode de multiplication pour faire la décomposition d'une fraction rationnelle

Exemple:

En general si je veux décomposer f(x)=2/x^2-1 je pose f(x)=a/(x-1)+b/(x+1)

pour trouver a je multiplie le tous par (x-1) et je remplace x par 1

Pour trouver b je multiplie le tous par (x+1) et je remplace x par  -1

Mais si je dois décomposer 1/n^2-1 avec n un entier qui est supérieur ou égal à 2 , est ce que j ai le droit d appliquer cette méthode.

Yassine

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Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

Bonsoir,
La décomposition que tu obtiens est une égalité qui est valable pour tous les réels (en dehors des pôles).
C'est en particulier valable pour les entiers naturels $n\ge 2$ (sous ensemble des réels).

yanlou

Invité

Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

Merci pour votre retour.

le nombre n est un entier et non pas un réel

Si je remplace n par -1 ou par 1 , le n dans ce cas sera inférieur a 2 donc pour faire la décomposition je ne vais pas pouvoir appliquer la methode multiplicative mai plutôt la méthode par identification non??

Yassine

Membre

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Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

Je ne comprends pas trop ce que tu dis.
Quand tu obtiens les valeurs de $a$ et $b$ avec la méthode multiplicative, tu a l'identité $f(x)=\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1,-1\}$.
C'est donc valable pour $n=2$, $3$ ou $4$,... qui contrairement à ce que tu dis sont aussi des réels : $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$.

yanlou

Invité

Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

J ai la question suivante:

soit n un entier naturel supérieur ou égale à 2

Déterminer les réels a et b tels que 2/(n^2-1)=a/(n-1)+b/(n+1)

Réponse:

Je multiplie l équation par (n+1) , j obtiens 2/(n-1)=a*(n+1)/(n-1)+b

pour n=-1 on aura b=-1
pour n=1 on aura a=1

Ma question c'est est ce que j ai le droit de poser n=-1 et n=1 dans la méthode multiplicative malgré que je sais que n est supérieur ou égale à 2

Yassine

Membre

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Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

Donc, tu cherches $a$ et $b$ tels que $\forall n \ge 2, \dfrac{2}{n^2-1}=\dfrac{a}{n-1}+\dfrac{b}{n+1}$.
Tu dis, je connais la décomposition en élément simple, donc, tu "transportes" cette équation dans $\mathbb{R}$ et tu cherche $a'$ et $b'$ tels que
$\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{1,-1\}, \dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{a'}{x-1}+\dfrac{b'}{x+1}$
Tu trouves $a'$ et $b'$ par la méthode que tu décris. Cette solution marche pour $x=1,2$ ou $x=\pi$, mais elle marche également pour $x=2$ ou $x=4$.
Donc, tu poses $a=a'$ et $b=b'$ et tu auras résolu le problème initial.

yanlou

Invité

Re : Décomposition d'une fraction rationnelle

C'est très bien clair , merci beaucoup