Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

[tex]T_{11}(x)=(x-1)P^2(x)+1[/tex] où [tex]T_n[/tex] est le n-ième polynôme de Tchebychev de première espèce.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

La condition est [tex]a^2 = b^2 + c^2 - bc[/tex], donc c'est bien la seule valeur de l'angle en [tex]A[/tex].

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

On peut ensuite remplacer [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex] par [tex]\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}[/tex] et réduire au même dénominateur.

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir,

Et si [tex]A^2=B[/tex] ?

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir,

Finalement, dans le cas où [tex]x_B<-1[/tex] et [tex]y_B>0[/tex], je trouve que l'équation du lieu est:
[tex]T_7+T_6+T_5+T_4+T_3+T_2+T_1+T_0=0[/tex]
où on a noté:
[tex]T_7=4x^7+3x^6y+4x^5y^2+10x^4y^3+4x^3y^4+3x^2y^5+4xy^6[/tex]
[tex]T_6=-4x^6+2x^5y+4x^4y^2-4x^3y^3+4x^2y^4+2xy^5-4y^6[/tex]
[tex]T_5=-12x^5+5x^4y-8x^3y^2+16x^2y^3-4xy^4+11y^5[/tex]
[tex]T_4=12x^4-4x^3y-8x^2y^2+36xy^3-4y^4[/tex]
[tex]T_3=12x^3-19x^2y+4xy^2+6y^3[/tex]
[tex]T_2=-12x^2+2xy+4y^2[/tex]
[tex]T_1=-4x+11y[/tex]
[tex]T_0=4[/tex]
Géogébra confirme.

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir,

Après quelques calculs infructueux et quelques manipulations dans Géogébra, il s'avère que le lieu dans le deuxième cas  ([tex]D[/tex] à l'extérieur de [tex][AC][/tex]) n'a pas pour équation [tex]|x|-|y|-1=0[/tex].
Il suffit de prendre [tex]D[/tex] variable sur [tex](AC)[/tex], puis [tex]B(x_D; -x_D-1)[/tex] et d'utiliser l'outil lieu.
Le problème est donc toujours ouvert dans ce cas.
En passant, pour placer les centres de cercles, il existe l'outil "TriangleCentre( <Point>, <Point>, <Point>, <Nombre> )".

Cordialement,
Rescassol

Bonsoir,

Bernard-Maths, je ne suis pas une salade, mon pseudo est Rescassol, pas Rescaroll !!!!
Pour le problème, je n'ai pas le temps aujourd'hui.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

Syrac qui traite Jelobreuil de totalitaire, on aura tout vu, c'est la charité qui se moque de l'hôpital.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

Voilà une solution en coordonnées barycentriques:
On pose [tex]BC=a,CA=b,AB=c[/tex].
L'aire [tex]S[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex] vérifie alors [tex]16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)[/tex]
Les notations de Conway sont [tex]S_a=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}[/tex] et permutation circulaire.
On a [tex]A=[1; 0; 0],B=[0; 1; 0],C=[0; 0; 1],D=[S_c; 0; S_a][/tex].
Un calcul de distance donne [tex]AD=\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2b},BD=\dfrac{2S}{b},CD=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2b}[/tex].
On sait que [tex]I=[a; b; c][/tex].
[tex]E=Barycentre([A,B,D],[BD,AD,c])[/tex] donne [tex]E=[c(a^2+b^2-c^2)+4bS; b(-a^2+b^2+c^2); c(-a^2+b^2+c^2)][/tex]
[tex]F=Barycentre([B,C,D],[CD,BD,a])[/tex] donne [tex]F=[a(a^2+b^2-c^2); b(a^2+b^2-c^2); a(-a^2+b^2+c^2)+4bS][/tex]
Puis le centre [tex]\omega[/tex] du cercle circonscrit au triangle [tex]IEF[/tex] dont on ne garde que la deuxième composante:
[tex]\omega(2)=-bXY[/tex] avec:
[tex]X=(a+b+c)(a-b+c) - 4S\space et\space Y=4b^2S + (a+b+c)(-a^3+a^2c+ac^2+b^3-c^3)[/tex].
De [tex]X=0[/tex] on tire [tex]S=\dfrac{(a+b+c)(a-b+c)}{4}[/tex] qu'on reporte dans:
[tex](a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)-16S^2=0[/tex], ce qui donne:
[tex]-2(a^2-b^2+c^2)(a+b+c)(a-b+c)=0[/tex] donc [tex]a^2+c^2=b^2[/tex], ce qui signifie que [tex]ABC[/tex] est rectangle en [tex]B[/tex] et que [tex]B[/tex] est sur le cercle de diamètre [tex][AC][/tex].
[tex]Y=0[/tex] ne donne rien de plus.

Cordialement,
Rescassol

EDIT: De plus, dans ce cas, [tex]\omega[/tex] est le point de contact du cercle inscrit dans le triangle [tex]ABC[/tex] avec [tex][BC][/tex].

Bonjour Pierre,

Heureux de te voir ici, même si je ne désespère pas de voir réssusciter les-mathematiques.net.
Tu peux republier à l'identique tout ce que j'ai écrit, pas de problème.

Cordialement,
Rescassol