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#276 Re : Entraide (supérieur) » la fonction logarithme » 09-06-2014 11:22:34
Bonjour,
bonjour ,
pourquoi la fonction logarithme donne le nombre de chiffres d'une nombre par exemple ,à quel moment de la construction on peut justifier celà
il ne faut pas confondre base de numération : on compte habituellement en base 10
et base d'un logarithme qui est : (voir logaritme sur wikipedia par exemple)
le logarithme népérien (Ln) est un logarithme de base e=2.71828 dont les résultats sont exprimés en base 10 habituelle
on a [tex]Log_{10}(x)=Log_{10}(e)\times Ln_e(x)[/tex] Note : on obtient e sur une calculette avec la fonction exp(1)
exemple si x=1000 : Log(1000) = 3 = 0.43429 x 6.90775 = 3
Maintenant pour répondre à la question,
le logarithme est une fonction telle que justement [tex]log_b(b^k)=k[/tex] toujours car [tex]log(b^k)=klog(b)\ et\ log_b(b)=1[/tex] !!!
#277 Re : Entraide (supérieur) » somme » 09-06-2014 10:10:08
Bonjour,
Sans être plus attrayant ni plus utile :
[tex] \sum_{k=0}^n {x}^{k^2} = (1+x(1+x^3(1+x^5(....(1+x^{2n-1})))...) [/tex] avec n parenthèses fermantes
#278 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 08-06-2014 10:37:38
Bonjour,
A marioss : Bien sûr qu'il faut faire autrement, je ne faisais que vous convier à prendre conscience des propriété cycliques des "congruences sur les entiers"
Et pour rédiger un résultat "démontré",il faut que vous citiez en les utilisant les propriétés "démontrées en cours" pour montrer que vous avez "assimilé" ces propriétés et savez les utiliser !!!.
Je rédige pour exemple :
La congruence modulo n a pour propriétés (démontrées en cours)
Si a1 ≡ b1 [n] et a2 ≡ b2 [n], alors [tex]a1 + a2 \equiv (b1 + b2) [n][/tex] et [tex]a1a2 \equiv (b1b2) [n][/tex]
[tex]3^1\equiv 3 [7][/tex]
[tex]3^2=3^1.3^1\equiv (3\times 3) [7] \equiv 2 [7][/tex]
[tex]3^3=3^2.3^1\equiv (2\times3) [7] \equiv 6 [7][/tex]
[tex]3^4=3^3.3^1\equiv (6\times3) [7] \equiv (4 [7][/tex]
[tex]3^5=3^4.3^1\equiv (4\times3) [7] \equiv (5) [7][/tex]
[tex]3^6=3^5.3^1\equiv (5\times3) [7] \equiv (1) [7][/tex]
[tex]3^7=3^6.3^1\equiv (1\times3) [7] \equiv (3) [7][/tex]
etc. le cycle est de 6 ( et pas besoin de calculette pour avoir [tex]3^6 \ ou\ 3^7\ modulo\ 7[/tex] ! )
idem pour 2 le cycle est de 3
en additionnant les modulos pour n=1 puis 2, puis 3 : [tex](2^3+3^3)\equiv{(1+6)[7]}\equiv{0[7]}[/tex]
le cycle est de 6 donc [tex]2^n+3^n \equiv{0[7]}\ pour\ n=6k+3,\ \forall{k\geq 0}
[/tex]
#279 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 07-06-2014 23:04:44
Bonsoir,
Vous devez avoir eu un cours sur les congruences des entiers...
Faites un tableau des [tex]2^n[7]\ et\ 3^n[7][/tex] pour au moins une dizaine ou une quinzaine de valeurs successives de [tex]n[/tex]
Et additionnez les modulo 7 pour chaque n.
#280 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 07-06-2014 20:08:04
Bonsoir,
@ freddy : oui, ce serait mieux de l'obliger à plus de précision. je m'y conformerai [ j'essaierai :-)) ]
#281 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 07-06-2014 18:44:29
ReBonsoir,
Les 2équations du post #1 sont indépendantes et se traitent avec méthodes et résultats différents ! Non ?
#282 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 07-06-2014 17:53:13
Bonsoir,
Mais pourquoi on n'aboutit pas à ce résultat avec l'autre méthode?
les fonctions sont complètement différentes..........
quelles sont les fonctions trouvées avec l'autre méthode ? A+ :-))
#283 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 07-06-2014 17:49:09
Bonsoir,
Pour le 2)
Si [tex]m= 2^{n}+3^{n}[/tex] on peut voir que m² = 1 [12] pour n>1
Il est ensuite intéressant de ne traiter que m = 0 [7]
Le premier n est n=3
On applique ensuite à [tex]2^{n}+3^{n}[/tex] la propriété : "le reste modulo k est la somme des restes avec le même modulo"
et on obtient [tex]n=6k+3[/tex] pour tout [tex]k\geq 0[/tex]
#284 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité » 07-06-2014 09:04:08
Bonjour,
@ yoshi : Le Bof ! De marioss, c'est sa façon à lui de tirer un enseignement de ce problème...
Bien plus intéressant est d'avoir (re)-compris la dérivation d'une intégrale définie
Telle que [tex]f(2x)-f(x)=\int_x^{2x}f '(t)dt[/tex]. :-))
#285 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité » 06-06-2014 09:27:09
Bonjour,
Bof, le maître nous a demandé de démontrer et utiliser cela : pour tout t>0: f(t)+1<tf'(t)
C'est tellement lumineux que j'en ai éclaté de rire aussitôt. donc pas :-(
au contraire :
freddy a bien vu au post #4 et il n'y a pas de difficulté pour montrer que pour tout x>0
[tex]f(x)+1=(e^x-1)^2< xf '(x)=2x(e^{2x}-1) =2x(e^x-1)(e^x+1)[/tex]
Je ne renie pas ma démonstration laborieuse obtenue par la méthode du trapèze,
mais quelle incitation à la modestie quand on voit après coup qu'il fallait mieux ouvrir les yeux sur la forme du membre le plus à droite de l'inégalité,
Ce que proposait Fred au post #2 en conseillant de regarder la dérivée…
#286 Re : Entraide (supérieur) » suite réccurente linéaire d'ordre p » 05-06-2014 13:17:38
Bonjour,
Je peux expliciter plus "concrètement" pour l'ordre 2, mais la théorie "moderne" est bien plus générale et plus puissante.
Ayant [tex]U_{n+2}=aU_{n+1}+bU_n[/tex] On crée [tex]S = \sum_{n=0}^\infty {U_nx^n}[/tex] alors :
[tex]S(1-ax-bx^2)=U_0+( U_1 -aU_0)x[/tex] soit [tex]S=\frac{U_0+( U_1 -aU_0)x }{ 1-ax-bx^2}[/tex]
Si [tex]\rho_1\ et\ \rho_2[/tex] sont les racines de [tex]1-ax-bx^2[/tex]
alors leurs inverses [tex]r_1\ et\ r_2[/tex] sont les racines de l'équation caractéristique [tex]X^2-aX-b[/tex]
et [tex](1-r_1x)(1-r_2x)= 1-ax-bx^2[/tex]
On met S sous la forme [tex]\frac{\alpha_1}{1-r_1x} + \frac{\alpha_2}{1-r_2x}[/tex]
Et on transforme les [tex]\frac{\alpha}{1-rx}=\sum_{n=0}^\infty {\alpha r^nx^n}[/tex]
Il n'y a plus qu'à identifier les coefficients de [tex]x^n\ d'où\ U_n = \alpha_1r_1^n+\alpha_2r_2^n[/tex]
Sauf erreurs...
#287 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 04-06-2014 11:41:41
Bonjour,
@ Issouf : J'ai donné une solution (et sa méthode) en post #10 parce que vous tardiez à donner la vôtre : Quelle méthode avez-vous employée pour aboutir à [tex]f(x)=2(cosh(x)-1)[/tex] ?
Quant au résultat du post #11, vous semblez contester que [tex]f(x)=sin(2x)[/tex] pour [tex]f(x).f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt[/tex] :
Pourtant vous ne pouvez contester que :
[tex] \int_{x-y}^{x+y} sin(2t)dt = sin(2x).sin(2y)[/tex] Alors ?
Edit : en dérivant une fois au post #11, j'ai tenu compte du résultat donné au post #3
à savoir [tex]f(0)=0[/tex] (même si je pensais que f(x) était impaire et non paire )
#288 Re : Entraide (collège-lycée) » la parité d'une fonction » 04-06-2014 09:04:38
Bonjour,
@ marioss : Les questions que vous posez pour cette "préparation au bac" sont si diverses et de difficultés si différentes
qu'il faut que vous nous donniez le contexte de votre "préparation" :
Quels sont les ouvrages (titres, auteurs, éditeurs) ou les cours dont vous tirez vos exercices et vos questions ?
Pour une réponse simple à votre dernière question :
quelle est la dérivée, de [tex]-\infty\ à +\infty[/tex] de la fonction [tex]f(x) = x^2\ si\ -\infty<x<0\ et\ f(x) = x^2+1\ si \ 0<x<+\infty[/tex] ?
Edit : L'intervention de freddy a précédé la mienne, mais je pense comme lui.
Picorer peut aider une fois ou deux, mais n'a pas le même effet sur les poulets et sur le cerveau humain !
#289 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité » 03-06-2014 21:45:31
Bonsoir,
Le majorant fourni par la méthode du trapèze (de hauteur 2x-x) est bien lui-même inférieur à celui proposé dans l'exercice.
En remarquant bien sûr que 4Ln2 < 3.
à vous, marioss, de calculer...
Edit : Ce problème pourrait être au niveau terminale S de lycée un "bon" problème d'étude de courbes,
avec calculs multiples de dérivées et recherche de minima...( avec une bonne calculette !!!)
Mais, marioss, ne suivez pas mon conseil : Vous n'aurez pas ce genre de calculs dans un problème au baccalauréat.
Retenez cependant qu'il faut commencer par vérifier que [tex]\frac{e^{2x}-2e^x}{x}[/tex] a bien une dérivée >0 pour x>0
alors vous pouvez appliquer la méthode du trapèze, etc...
#290 Re : Entraide (collège-lycée) » inégalité » 03-06-2014 11:07:17
bonjour,
Grand Merci, Freddy, de re-activer les souvenirs je me demandais comment traiter le membre de droite !
C'est [tex]\leq[/tex] (Aire du trapèze) si la dérivée de h est toujours >0 et [tex]\geq[/tex] si la dérivée de h est toujours <0
(dans l'intervalle [a,b]).
#291 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 02-06-2014 09:14:33
Bonjour,
Un résultat supplémentaire, car je m'étais trompé de signe au début de ma recherche :
Pour : [tex]f(x)+\int_0^x(x-t)f(t)dt=x²[/tex]
le résultat est [tex]f(x)=2(1-cos(x))[/tex]
Par intégrations successives directes à partir de [tex]f(x)=x^2[/tex], car dériver l'intégrale définie est délicat quand x, une des bornes de l'intégrale, figure dans les facteurs à intégrer.
#292 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 01-06-2014 22:19:37
Re-bonsoir,
Pour : [tex]f(x).f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt[/tex]
J'ai choisi non pas y=0 mais y=x
D'où [tex](f(x))^2=\int_{0}^{2x}f(t)dt [/tex]
En dérivant une fois : [tex]2f\ '(x).f(x)=f(2x)[/tex] et immédiatement [tex]f(x) = sin(2x)[/tex]
#293 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 01-06-2014 18:37:54
Bonsoir,
Pour : [tex]f(x)-\int_0^x(x-t)f(t)dt=x²[/tex]
Je donne ma solution obtenue par intégrations directes successives
Partant de [tex]f(x)=x^2[/tex] au voisinage de zéro. on obtient [tex]f(x)=2(cosh(x)-1)[/tex]
(les intégrations donnent un développement en série de rayon de convergence infini, d'où le cosinus hyperbolique)
Je peux détailler si demandé...
totomm
#294 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 31-05-2014 12:27:09
Re-bonjour,
Dans N* on commence par y=1 avant y=2 ou 3 et [tex]1^6=1[/tex]
2017-1=2016 est divisible par 7, x=288
#295 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 31-05-2014 11:07:33
Bonjour,
Faites marcher la calculette en même temps que le cerveau, (ou calculez avec papier crayon, mais calculez !!!!)
c'est y, élevé à la puissance 6 qui va augmenter le plus vite,
vous aurez donc très vite le petit nombre des valeurs possibles pour y.
D'où x éventuel pour chaque valeur possible de y.
Combien de couples (x,y) trouvez-vous ?
C'est facile, non ? vous n'aviez réellement pas vu comment faire ?
#296 Re : Entraide (collège-lycée) » arithmétique » 30-05-2014 16:31:56
Bonjour,
Si p divisait y, est-ce qu'il diviserait [tex]y^{p-1}[/tex] ?
Alors, quel théorème utiliser en observant les diviseurs de 2017 ?
#297 Re : Entraide (collège-lycée) » problème à résoudre » 29-05-2014 15:22:46
Bonjour,
S'il faut trouver explicitement x et y tel que 13x-16y = 1, on peut "deviner" le couple (5,4) à défaut d'exécuter "à la main" l'algorithme d'Euclide étendu dont il est douteux qu'il soit au programme du bac…
Pour montrer que : [tex]x\equiv 1\;[17][/tex] quand on a [tex] x^{13}\equiv 1\;[17][/tex]
Je mettrais [tex]x[/tex] sous la forme [tex]x=(17k+r)\ avec\ 0\leq r<17[/tex]
Alors, en développant [tex](17k+r)^n[/tex] on montre que [tex](x^n)[17] = r^n[17][/tex]
Et pour n=13, il n'y a que r=1 qui permette [tex]r^{13}\equiv 1[17][/tex] (ce n'est pas la cas pour n=12 ou n=14 par exemple)
Là encore je doute que ce soit demandé au bac...
A+ éventuellement
#298 Re : Entraide (collège-lycée) » problème à résoudre » 28-05-2014 15:56:06
Bonjour,
Ah, marioss, que de manque de rigueur,
salut tout le monde ,
j'ai un problème dans cette exercice . j'ai essayé à mettre x à la puissance " a " mais a appartient à Z. voilà l'exercice :sachant que : 13a-16b=1 tel que a et b appartenant à Z et
on a : [tex] x^{13}\equiv 1\;[17][/tex] montrer que : [tex]x\equiv 1\;[17][/tex]
salut,
1) montrer que l'équation 13x-16y=1 accepte au moins une solution (a,b) dans Z.
2) on a : [tex] x^{13}\equiv 1\;[17][/tex] et pgcd(17;x)=1 .
montrer que : [tex]x\equiv 1\;[17][/tex]
Si tu veux être aidé, il faut que tu dises au moins quelle partie de tes cours, quels théorèmes, peuvent bien convenir pour traiter les 2 questions…(qui apparaissent bien indépendantes...)
Alors seulement on pourra te corriger et t'orienter éventuellement !!!
A+
#299 Re : Entraide (collège-lycée) » Exercice probabilité assez urgent » 27-05-2014 09:32:52
Bonjour,
@ CUliniak : Plutôt d'accord avec freddy (le spécialiste du Forum en probabilités). Le jeu EST quasi équitable
As-tu pris en compte ce qui se passe si le 6 n'est pas sorti durant les 6 tirages Max. ?!!!
#300 Re : Entraide (supérieur) » équation intégrale » 27-05-2014 09:13:24
Bonjour,
quand une aide a été demandée et une discussion engagée,
Il serait bien et instructif surement pour les visiteurs de voir une solution publiée à la fin des interventions...
Ce petit effort serait le meilleur des remerciements...