Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Que ne comprends-tu pas dans la correction de l'exercice 15 ? A aucun moment la linéarité n'est utilisée...
La question précédente donne $f(f(f(x)))=f(x)$ et donc si on suppose $f$ injective, avec $y=f(f(x))$, on a $f(y)=f(x)$
et donc $y=x$, soit $f(f(x))=x$ - ça n'utilise pas du tout la linéarité de $f$.
Ensuite, on utilise à nouveau la question précédente, plus précisément $f(f(x))=1-x$.

F.

Bonjour,

Non, ce n'est pas le cas. Par exemple, les fonctions $f_n(x)=\sqrt{x+\frac 1n}$, $n\geq 1,$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1],$ la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $x\mapsto\sqrt x$ sur $[0,1]$ et cette dernière fonction n'est pas dérivable en $0$.

On peut montrer que le support de $f$ est inclus  dans $[0,a]$, c'est-à-dire que la fonction est nulle en dehors de $[0,a]$.
Après, la fonction pourrait très bien être nulle sur $[0,a]$ aussi.

F.

Merci Bernard, je viens de corriger le P.

F.

Bonjour,

  Par définition, une fonction continue par morceaux sur un segment admet un nombre
fini de points où elle est discontinue. Ici, ta fonction est discontinue en tous les $1/n,$ $n\in\mathbb N^*$. Elle ne peut donc pas être continue par morceaux sur $[0,1]$.

F.

Re

Après réflexion je ne comprends pas pourquoi ma réponse ne serait pas appropriée si on considère cet énoncé du théorème du prolongement analytique : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … tique.html

F.

Bonjour

  Le théorème du prolongement analytique n'est vraie que pour les fonctions holomorphes d'une variable complexe.

F.

Re-

  Pourquoi es-tu bloqué? Il suffit de regarder ce à quoi tu veux arriver.
Tu veux un terme en $y,$ donc tu l'isoles. Tu veux un terme constant, tu l'isoles,
et il te reste une fonction en $y$ pour la fin....

F.

Bonjour

  Puisqu'on cherche les points critiques dans $\mathbb R^2$ on se limite aux solutions réelles

F.

Bonsoir,

  Oui, bien sûr, il y a des applications concrètes aux matrices.
La diagonalisation des matrices est un outil essentiel dans beaucoup de domaines,
le calcul d'intégrale est un outil très important de la physique....

Après, ce serait te mentir de te dire que je connais un ingénieur qui a besoin de démontrer qu'une famille est libre.
Mais c'est un outil important en mathématiques pour comprendre d'autres théories qui elles pourront être utilisées.
C'est pourquoi il est nécessaire de les enseigner en prépa.

Cela dit, c'est vrai que beaucoup d'ingénieurs n'utilisent plus du tout leurs maths de prépa.
Mais leur étude leur a aussi donné la rigueur que j'espère ils respectent dans l'exercice de leur métier.

F.

Mince... Pourtant j'ai coché la case ajutement pour l'heure d'été...

Ah oui, il faut que chacun fasse l'ajustement lui-même, à partir du sous-menu "Profil" !
Il est temps de changer de forum !

Bonsoir,

Attention! Quand tu composes, tu as $p^2=p$ et non $p^2=Id$ et donc ce que tu obtiens est faux.

Voici une piste pour débuter et trouver des valeurs propres :

  Soit $f$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
Si $x\in \ker(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=p\circ f(x)$ et on veut que ce soit égal à $2\lambda f(x)$.
Donc ou bien $f(x)=0$ ou bien $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$ puisque les seules valeurs propres de $p$ sont $0$ et $1$.
Si $x\in \textrm{Im}(p)$, alors $f\circ p(x)+p\circ f(x)=f(x)+p\circ f(x)$ et on doit avoir
$p\circ f(x)=(2\lambda-1)f(x)$. A nouveau, on en déduit que $f(x)=0$ ou bien que $(2\lambda-1)\in\{0,1\}$.
On doit obtenir encore que $\lambda=0$ ou $\lambda=1/2$.
Maintenant, il faut un peu discuter pour savoir si $0$ et $1/2$ sont bien des valeurs propres, et pour trouver la dimension des sous-espaces propres associés (qui va sans doute dépendre de la dimension de $\ker(p)$ et $\textrm{Im}(p)$...).

F.

[edit : Ah! En même temps que Glozi qui explore une autre méthode! ]

Re-

  Justement, c'est parce qu'ils ne sont pas premiers entre eux qu'on ne peut pas faire comme cela et qu'on doit faire "à la main". La méthode que j'ai utilisée correspond au début de la preuve du théorème que tu mentionnes. Lorsque $R$ et $S$ ne sont pas premiers entre eux, on ne peut pas diviser simplement par leur pgcd, c'est plus difficile que cela !

F.