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ElMathador

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Théorie des séries de Fourier.

Bonjour.

J'étudie en ce moment les séries de fouriers et je ne suis pas sur de bien comprendre la théorie qu'il y a derrière.

Voici le plan de mon cours :

1) Etude des espaces de Hilbert

2) Série de Fourier

2.1 : Définition des coefficients et polynômes trigonométriques
2.2 : Sommes partielles de la série de Fourier
2.3 : Produit de convolution et quelques résultats.
2.4 : Noyau de Dirichlet
2.5 : Approximation de l'unité : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … tereg.html
2.6 : Noyau de Féjer
2.7 : Convergence et divergence des séries.

Il y a certaine choses que je ne comprends pas très bien

On cherche à étudier la convergence des séries de Fourier, c'est le but du chapitre.
On définit le noyau de Dirichlet comme une somme d'exponentielle complexe, de sorte que [tex]S_N(f) = D_N \ast f[/tex] ou f est une fonction intégrable 1 périodique ( L^1(T) ). Il est possible de trouver une approximation du noyau de Dirichlet, qu'on appelle constate de Lebesgue : [tex]\|D_N\|_1 := \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |D_N(t)| \, dt = \frac{4}{\pi^2} \ln N + O(1)
[/tex]. C'est une quantité qui diverge en l'infini, donc cela ne nous dit rien de la convergence de la série de Fourier.

A tel point que je me demande si ce noyau de Dirichlet n'est pas inutile, si ce n'est pour définir celui de Féjer...
Je cite mon cours et les theorèmes qui suivent :

Le fait que [tex]\|D_N\|_1 \rightarrow +\infty[/tex] quand [tex]N \rightarrow +\infty[/tex] a une conséquence désagréable, qu'il est utile de connaître, mais qui ne sera pas démontrée, comme conséquence du théorème de Banach-Steinhaus:

Théorème (Admis). Il existe une fonction [tex]f \in L^1(T)[/tex] dont la série de Fourier [tex]S_N(f)[/tex] ne converge pas vers [tex]f[/tex] dans [tex]L^1(T)[/tex].
Il existe une fonction continue [tex]f[/tex] dont la série de Fourier [tex]S_N(f)[/tex] ne converge pas uniformément vers f.
Il existe une fonction continue f dont la série de Fourier en [tex]0, S_N(f)(0)[/tex], ne converge pas vers f(0).

Le contre exemple du Théorème 3 est du à Féjer, une démo se trouve dans le gourdon page 275 exercice 4, ou ici :
https://sandrine.caruso.ovh/pageperso/a … iverge.pdf

On continue avec la définition de l'approximation de l'unité et les théorèmes, voir page Bibmaths citées plus haut.

Il est dit qu'une bonne façon de montrer que [tex]S_N(f) = D_N \ast f[/tex] tend vers f serait de montrer que D_N est une approximation de l'unité, ce qui n'est pas le cas.

On définit alors le noyau de Féjer : [tex]F_N(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} D_n(t) = \begin{cases} \frac{1}{N} \left( \frac{\sin(N\pi t)}{\sin(\pi t)} \right)^2 & \text{si } t \notin \mathbb{Z} \\ N & \text{si } t \in \mathbb{Z} \end{cases}[/tex]

[tex]\sigma_N f = F_N \ast f = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} S_n f.[/tex]

Le noyau de Féjer est une approximation de l'unité.

Ainsi, si f appartient à L^p, 1<=p<+infini,[tex]\sigma_N f[/tex] tend vers f pour la norme p. Si f est seulement continue, [tex]\sigma_N f[/tex] tend f uniformément.

[tex]\sigma_N f[/tex] est une somme de polynômes trigo car SN l'est.

J'en viens à ma question, tout ce développement qu'on à fait, est ce seulement à fin de montrer que l'espace des polynômes trigonométriques est dense dans L1(T), L2(T) et C(T) ; c'est le théorème de Weierstrass trigonométrique.

On à étudié les Hilberts aux premiers chapitre. On a en particulier montré que tous les Hilberts possèdent une base orthonormée ( système orthonormé et total ).

Ma conclusion dans L2. Les [tex]e_k(t) = \exp(2i\pi k t)[/tex] forment un système orthonormée, de plus ils engendrent l'espace des polynômes trigo qui est dense dans L2. L2 étant un hilbert (chapitre 1), c'est une base orthonormée. Donc pour toute fonction f dans L2, sa série de fourier converge vers f.

Est-il juste de voir le coefficient de fourier ck(f) d'une fonction de L2 comme la projection de la fonction sur un ce ek ?

Merci.

Dernière modification par ElMathador (01-04-2024 14:33:08)

Fred

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Re : Théorie des séries de Fourier.

Bonjour,

  Je pourrai sans doute t'éclaircir un peu plus sur les autres aspects des séries de Fourier si tu en as besoin,
mais je vais me concentrer sur ta question : comment as-tu démontré que l'ensemble des polynômes trigonométriques est dense
dans $L^2$ ? On a besoin d'un théorème de type Féjer pour démontrer la densité des polynômes trigonométriques.

Et effectivement, lorsque tu projettes orthogonalement une fonction $f$ de $L^2$ sur $e_k$, son projeté orthogonal est $c_k(f)e_k$.

F.

ElMathador

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Re : Théorie des séries de Fourier.

Bonjour Fred, merci de prendre le temps de me répondre.

Dans mon poly le théorème n'est pas spécialement nommé, mais c'est bien le théorème de Féjer qu'on peut trouver sur la page Bibmaths du même nom.

Pour la démo, on veutmontrer que le noyau de Féjer est une approximation de l'unité :

Théorème : (Je ne le démontrerai c'est bien trop long)

Soit [tex]k_n \in L^1(T)[/tex] une suite de fonctions telles que
   1) Pour tout n, [tex]\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} k_n(t) \, dt = 1[/tex];
   2) Il existe $C > 0$ tel que, pour tout $n$, $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |k_n(t)| \, dt \leq C$;
    3) Pour tout $\delta > 0$, $\int_{\delta \leq |t| \leq \frac{1}{2}} |k_n(t)| \, dt \rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$.

Alors,
    Si $f \in L^p(T)$ avec $p = 1$ ou $p = 2$, $\|k_n * f - f\|_p \rightarrow 0$;
     Si $f \in C(T)$, $\|k_n * f - f\|_{\infty} \rightarrow 0$.

On dit que $(k_n)$ est une approximation de l'unité. [/tex]

Peut-être y a t il des fautes de codes mais je ne pense pas.

Le fait est que une fois qu'on à mq le noyau de Féjer est une approxiamation de l'unité, on à la densité de l'espace des polynôme trigo dans celui des des fonctions périodique.

Après ces précisions je reformule ma question : Le noyau de Dirichlet possède t-il un intérêt autre que la construction du noyau de Féjer ? Le noyau de Féjer possède t-il un intérêt autre que la densité des polynômes trigo ?

Fred

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Re : Théorie des séries de Fourier.

Bonjour,

  Le noyau de Dirichlet possède un intérêt lorsqu'on s'intéresse à la convergence ponctuelle des sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction. Même s'il n'est pas dans $L^1$, il y a des conditions suffisantes qui garantissent la convergence des sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction assez régulière vers la fonction elle-même, par exemple les théorèmes de Dirichlet et de Jordan/Dirichlet.
Pour leur preuve, on fait un peu comme pour le théorème de Fejér, en écrivant que la somme partielle de la série de Fourier est un produit de convolution de $f$ avec le noyau de Dirichlet $D_n,$ puis on bidouille....

F.

ElMathador

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Re : Théorie des séries de Fourier.

Bonjour,

J'ai une question concernant l'Exercice 3 de la page Bibmaths :

https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Il est dit que Maintenant, f est continue et C1 par morceaux : cette fonction est somme de sa série de Fourier pour tout réel, et on a donc, pour tout x dans [−pi,pi].

Peut on dire que f appartient à L^2, et comme c'est un Hilbert, la fonction est somme de sa série de Fourier. Si c'est vrai, ça me semble plus intéressant que de dire que f est continue et C1 P.M.

Merci.

Fred

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Re : Théorie des séries de Fourier.

Bonjour,

  La signification "f est somme de sa série de Fourier" a une signification différente pour une fonction
continue et pour une fonction de $L^2$ :
* pour une fonction continue, ceci signifie que l'égalité a lieu en tout point
* pour une fonction de $L^2$, on a égalité au sens de la convergence dans $L^2$. En particulier,
on a égalité presque partout, mais pas forcément partout (d'ailleurs, une fonction de $L^2$ est toujours
définie à un ensemble négligeable près...).

F.