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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

P=[0; t; 1-t]; % Un point P de (BC)
Dte=DroiteOrthogonaleBary(P,BC,a,b,c);
D=Wedge(Dte,AB); E=Wedge(Dte,CA);
J=CentreCercleTroisPointsBary(A,D,E,a,b,c);
Tgte=[0, c^2, b^2]; % Tangente en A au cercle circonscrit à ABC
Nul=Factor(Tgte*J) % Nul=0, donc c'est gagné
 

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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%-----------------------------------------------------------------------

Euler=[Sa*(b^2-c^2), Sb*(c^2-a^2), Sc*(a^2-b^2)];
DistA2=Factor(DistancePointDroiteBary2(A,Euler,a,b,c));
[NumA2 DenA2]=numden(DistA2)
% Ce qui donne:
% DenA2=- 4*(a^6+b^6+c^6) - 12*a^2*b^2*c^2
%       + 4*(a^4*b^2+a^4*c^2+a^2*b^4+a^2*c^4+b^4*c^2+b^2*c^4)
% DenA2 est invariant par permutation circulaire, donc les trois carrés
% de distances sont proportionnels aux numérateurs. On trouve
% NumA2=(b^2-c^2)^2*(-a^2+b^2+c^2)^2
% Les distances sont donc proportionnelles à:
% A2=(b^2-c^2)*(-a^2+b^2+c^2) et permutation circulaire, au signe près
% On pose:
A2=(b^2-c^2)*(-a^2+b^2+c^2);
B2=(c^2-a^2)*(-b^2+c^2+a^2);
C2=(a^2-b^2)*(-c^2+a^2+b^2);
% Alors:
Nul=Factor(A2+B2+C2) % Égal à 0
 

def Coeff(A,B):
    S='('+str(A)+'m'
    if B<0:
        S=S+'-'
    else:
        S=S+'+'
    S=S+str(B)+')'

    return S

sy.var('a b c d e f m x', real=True)

Eq=(a*m+b)*x**2-2*(c*m+d)*x+(e*m+f)
Delta=(c*m+d)**2-(a*m+b)*(e*m+f)
# On trouve Delta=(c^2-a*e)*m^2 + (2*c*d-b*e-a*f)*m + (d^2-b*f)
delta=(2*c*d-b*e-a*f)**2-4*(c**2-a*e)*(d**2-b*f)
# On trouve delta=(a*f-b*e)^2 - 4*(a*d-b*c)*(c*f-d*e)
# On veut delta = D^2
# A=a*d-b*c; B=a*f-b*e; C=c*f-d*e; D^2=B^2-4*A*C;
# B^2-D^2=4*A*C ==> B et D sont de même parité
# Exemples:
# B=6; D=4; 4*A*C=36-16=20 et A*C= 5
# Par ex, A=1 et C=5
# a*d-b*c=1, a*f-b*e=6, c*f-d*e=5

M, N = 1, 5
for a in range(M,N+1):
    for b in range(M,N+1):
        for c in range(M,N+1):
            if (b*c+1) % a == 0:
                d=(b*c+1)//a;
                Mat=np.array([[c, -a], [d, -b]])
                ef=np.dot(Mat,np.array([6, 5]))
                e, f = ef[0], ef[1]
                print('[a, b, c, d, e, f] =',[a, b, c, d, e, f])
                print('[a*d-b*c, a*f-b*e, c*f-d*e] =',[a*d-b*c, a*f-b*e, c*f-d*e])
                Eq=Coeff(a,b)+'x^2+'+Coeff(c,d)+'x+'+Coeff(e,f)
                print('Eq =',Eq)
                Delta=sy.factor((c*m+d)**2-(a*m+b)*(e*m+f))
                print('Delta =',Delta,'\n')