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Peterouchikh

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Équation trigonométrique

Svp une idée pour trouver $x$
$tan x$ = $2+\sqrt3$
Sachant que $tan \frac{\pi} {12}=2-\sqrt3$

Rescassol

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Re : Équation trigonométrique

Bonjour,

Avec un minimum de sens de l'observation, on peut voir que $2-\sqrt3$ et $2+\sqrt3$ sont inverses l'un de l'autre.

Cordialement,
Rescassol

Peterouchikh

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Re : Équation trigonométrique

Bonjour,

Avec un minimum de sens de l'observation, on peut voir que $2-\sqrt3$ et $2+\sqrt3$ sont inverses l'un de l'autre.

Cordialement,
Rescassol

Oui j'ai constaté que $2+\sqrt3$ est l'inverse de $2-\sqrt3$ et l'équation est donc équivalente à $tanx\times tan \frac{\pi} {8}=1$  mais je bloque ici
J'ai même essayé autrement en considérant $2+\sqrt3$ comme racine de l'équation quadratique $X^2-4X+1=0$ c'est-à-dire l'équation  $tan x=2+\sqrt3$  entraîne $tan^2 x-4tan x+1=0$ (*) puis en appliquant la formule $tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2 x}$
L'equation (*) devienne $tan 2x-2tan x \times tan2x-tanx=0$

Dernière modification par Peterouchikh (12-01-2024 18:44:45)

Rescassol

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Re : Équation trigonométrique

Bonjour,

Serais tu partisan(e) du principe "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" ?
A moins que tu ne connaisses pas tes formules de trigo?
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan(x)}$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (12-01-2024 18:49:02)

Bernard-maths

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Re : Équation trigonométrique

Bonsoir !

Il y a plusieurs façons de procéder ...

Par ex, moi je connais tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a) tan(b)), d'où je déduis tan(a+b) (1-tan(a) tan(b)) = tan(a)+tan(b) ...

Si a=x et b=pi/12, alors tan(x) + tan(Pi/12) = ???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (12-01-2024 19:20:09)

Peterouchikh

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Re : Équation trigonométrique

Ah oui c'est facile en fait j'ai oublié cette formule

yoshi

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Re : Équation trigonométrique

Bonsoir,

La formule, pourquoi l'apprendre quand on peut la retrouver très vite :
$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}}=\dfrac{1}{\tan(x)}$

@+

Rescassol

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Re : Équation trigonométrique

Bonjjour,

Je n'y peux rien, quand j'ai utilisé une formule quelques fois, je la sais par cœur, je ne vais pas fairel'effort de l'oublier pour le plaisir de la retrouver.
En l'occurence, ça permet de faire cet exercice de tête en quelques secondes.

Cordialement,
Rescassol

yoshi

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Re : Équation trigonométrique

RE,

Je n'y peux rien, quand j'ai utilisé une formule quelques fois, je la sais par cœur, je ne vais pas faire l'effort de l'oublier pour le plaisir de la retrouver.

Ça, je comprends : la formule est sue par cœur, sans jamais avoir été apprise par cœur : ce serait vraiment peu banal ^_^ de se forcer à l'oublier (est-ce seulement techniquement possible ?) pour avoir le plaisir de la retrouver...

C'était juste une réflexion destinée à suggérer à Peterouchikh, que même si on oublie une formule (sauf si on oublie jusqu'à son existence, ce qui me paraît difficilement possible en l'occurrence : vu qu'il y en a pour le sin et pour le cos, il doit forcément en avoir au moins une pour la tan), on doit toujours pouvoir la retrouver...

@+

Borassus

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Re : Équation trigonométrique

Bonjour,

Serais tu partisan(e) du principe "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" ?
A moins que tu ne connaisses pas tes formules de trigo?
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan(x)}$.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

Pourquoi la notion de cotangente n'est plus enseignée, alors qu'elle l'était au collègue à mon époque (reculée) ?
Il n'y a même pas de formule à apprendre : la cotangente est la tangente de l'angle complémentaire.

Pourquoi, aussi, le cercle trigonométrique est limité aux seuls sinus et cosinus (cosinus = sinus de l'angle complémentaire.
On ne sait donc pas, à quelques (rares ?) exceptions près, placer la tangente, à plus forte raison la cotangente (et encore plus à forte raison, la sécante et la cosécante)

Je retiens l'exercice pour utilisation future avec des élèves.

Bonne journée.
B.

Borassus

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Re : Équation trigonométrique

« On ne sait donc pas, à quelques (rares ?) exceptions près, placer la tangente, à plus forte raison la cotangente (et encore plus à forte raison, la sécante et la cosécante) »

Je m'amuse parfois à faire calculer, par simple utilisation du théorème de Thalès, à des élèves de Troisième les quatre autres segments sur le cercle trigonométrique (que j'appelle "patate trigonométrique" car j'arrive rarement à dessiner un beau cercle. :-)

yoshi

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Re : Équation trigonométrique

Re,

car j'arrive rarement à dessiner un beau cercle. :-)

Lycéen, j'avais eu deux profs de maths un peu hors normes :
Le 1er faisait systématiquement ses figures à main levée au prétexte que, selon lui, la géométrie était l'art de raisonner juste sur des figures fausses. Aphorisme qui a pourtant ses limites : j'ai coincé, il y a longtemps quelqu'un, un prof (mon beau-frère ! Qui avait eu ce prof) à qui j'avais présenté une démonstration totalement exacte (se terminant par : donc 90 = 91) et qui s'est acharné une dizaine de minutes à trouver la faille (j'avais construit le dessin en même temps que je lui donnais l'énoncé) et qui s'était résigné à refaire le dessin aux instruments et s'était aperçu que mon dessin était volontairement faux qu'un segment n'était pas là où il devait être et que pourtant le dessin proposé paraissait aussi vrai que possible...
Je m'étais fait engueuler d'une force... Mais j'avais réussi mon coup !

Le 2nd délaissait systématiquement le compas et lui préférait une ficelle qu'il nouait autour d'une craie... L'année suivante, en Math Elem; la prof appelle un copain au tableau (une sombre histoire d'affinité orthogonale, il me semble me souvenir), il monte sur l'estrade, le prof lui tend le compas, et lui (distrait ?) ne le voit pas, s'accroupit et commence à enlever un lacet... Stupeur du prof qui ne voyait pas bien où le copain voulait en venir !
Quand il avait compris, il s'était plié sur son bureau secoué d'un énorme fou-rire...

Pour en revenir à ta cotangente : j'ai constaté un jour sa disparition des manuels et des programmes, sans jamais savoir pourquoi.
Tout comme pendant un temps certain, les calculs de fraction en 5e (y compris la division -- aujourd'hui 4e) maintenus malgré la disparition des PPCM et PGCD des programmes et  exit les problèmes qui allaient avec...
Pour moi, le cosinus était un drôle de coco puisque aussi un sinus, celui de l'angle complémentaire...

D'autres pourquoi dont je n'ai pas la réponse (enfin si, la mienne, donc sans garantie) :
Pourquoi, sur nombre de pendules ou horloges, le IV romain est écrit IIII ?
Pourquoi, un jour a-t-il été décidé que le symbole de la minute serait min et non plus mn ? Et ça ne date pas d'aujourd'hui (je peux fournir la date)...
Pourquoi, le symbole de la tangente est-il devenu $\tan$ au lieu de $\text{tg}$ ?
Maintenant, étant donné que $cotan\,  \alpha =\dfrac{1}{tan{\,\alpha}}$, la cotangente était-elle bien utile ?

@+

Borassus

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Re : Équation trigonométrique

[...]
Pourquoi, sur nombre de pendules ou horloges, le IV romain est écrit IIII ?

Parce que c'est plus facile à comprendre ?

Pourquoi, un jour a-t-il été décidé que le symbole de la minute serait min et non plus mn ? Et ça ne date pas d'aujourd'hui (je peux fournir la date)...

Wikipédia : Le symbole de la minute temporelle est « min » (invariable, sans point). Le Système international d'unités (SI) n'admet ni le symbole « m », qu'il utilise pour le mètre, ni « mn »2.

Depuis le décret no 75-1200 du 23 décembre 19753, le symbole min est le seul légal en France :

« Dénomination. : minute. ; Symbole. : min ; Observations : Pour la minute, le symbole m4 peut être employé lorsqu'il ne saurait y avoir d'ambiguïté, par exemple lorsque le temps exprimé comprend non seulement des minutes mais aussi des heures ou des secondes ».
L'emploi d'une ou de deux primes (caractères « ′ » et « ″ ») comme symboles respectifs de la minute et de la seconde temporelles est incorrect5, ces signes désignant la minute et la seconde d'arc, subdivisions du degré d'arc

Pourquoi, le symbole de la tangente est-il devenu $\tan$ au lieu de $\text{tg}$ ?

Il semble que la notation $tg$ était une notation française, alors que la notation $tan$ est une notation internationale.
(J'ai souvent le réflexe d'écrire $tg$.)

Maintenant, étant donné que $cotan\,  \alpha =\dfrac{1}{tan{\,\alpha}}$, la cotangente était-elle bien utile ?

$cotan\,  \alpha =\dfrac{1}{tan{\,\alpha}}$ est formule qui ne définit pas la cotangente comme étant la tangente de l'angle complémentaire. La formule est une conséquence de la définition de base, pas une définition : $cotan\, \alpha = \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha}$

Il y a donc la même correspondance entre cotangente et tangente qu'entre sinus et cosinus.

Avec la même logique de remplacement d'une logique de définition par une formule, $\cos \alpha$ devrait s'écrire $\pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$, le signe dépendant du quadrant dans lequel se trouve l'angle $\alpha$.

Remplacer $cotan\,  \alpha$ par $\frac{1}{\tan \alpha}$ rend la logique d'ensemble bancale.

Dernière modification par Borassus (17-01-2024 18:14:14)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Équation trigonométrique

salut,

Merci pour ces infos.
Concernant la minute, je voulais savoir pourquoi, pas quand.
Un jour de septembre, il y a trèèès longtemps, en ouvrant mon casier, j'y découvre un spécimen de livre de $\text{Sc}\;\varphi$...
Je le feuillette et j'y vois le symbole de la minute écrit min !
Ce n'est que bien plus tard, discutant avec un copain Prof de Techno qui disait ouvertement que le changement de symbole était une c..ie et qu'il se refusait à l'appliquer et je m'étais mis en tête de retrouver quand le changement avait eu lieu et la notification officielle publiée.
J'avais cherché des années quand un jour, j'étais tombé par hasard là-dessus :

Le symbole de la minute est min, depuis 1975.
Le symbole mn n'a été d'usage officiel qu'entre 1948 et cette date.
Décret n° 75-1200 du 23 déc. 1975 relatif aux unités de mesure et au contrôle des instruments de mesure.
Ref : http://sgalex.free.fr/typo-maths_fr.pdf   (p.17).

que depuis, je conserve soigneusement.
France 2 et France 3 ont mis au moins 15 ans à se mettre à la page dans leurs bulletins météo, TF1 bien plus...
Aujourd'hui encore, il n'est pas rare de découvrir un panneau publicitaire portant la mention : (Hypermarché) Truc à 5 min suivi d'une flèche...

Pourquoi min ?
J'hasarde une explication (probablement pas la bonne) amusante.
Il y trèèès longtemps, j'ai eu un gamin de 6e qui avait un problème avec la lecture du symbole mm : pour lui, 1 mm c'était 1 minimètre (ce en quoi il n'avait tout à fait pas tort)...
Toutes mes tentatives pour une lecture correcte avaient d'ailleurs échoué...
Alors, je me suis dit que la proximité des symboles mm et mn pouvait être (n'ayant qu'une "jambe" d'écart) la raison de la modification...

Pourquoi IIII et non IV ?
Mon explication...

Après tout, la problématique devrait être la même pour IX et XI ?
Bin non...
IV et VI ont la tête en bas (surtout le V de VI)
À y bien regarder, le V n'a qu'une ouverture vers le haut, alors que X non et il a deux axes de symétrie.
Et le XI est bien dans le sens de la lecture le IX aussi, mais en remontant...
Pour IIII à la place de IV, il venait à la suite de I, II, III et il fallait que ce soit lui et non VI : d'abord IIIIII tenait trop de place, et il y aurait eu rupture d'écriture des chiffres...

Voilà, je n'ai aucune certitude, mais je pense que mes suppositions sont sensées, ce qui ne veut pas dire que j'ai raison...

@+