Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir Ernst, bonsoir Jean-Louis (content de retrouver tes interventions, sans doute trop rares), bonsoir à ceux qui viennent nous rendre visite ce soir,

Je rejoins tout à fait Jean-Louis : la curiosité ne permet pas seulement d'observer, mais permet, surtout, de comprendre et d'apprendre, et donc d'élargir notre connaissance du monde.

Je lisais hier dans l'Express une interview de l'anthropologue Ludovic Slimak expliquant dans son livre "Sapiens nu : le premier âge du rêve (Odile Jacob)" qu'il y a 70 000 - 50 000 ans Sapiens s'est mis à penser autrement.
Je cite l'article :

Sans doute la curiosité a eu une grande part dans cette évolution : qu'y a-t-il derrière cette montage ? ou cette mer ? pourquoi se produit tel phénomène que j'observe ? pourquoi telle amélioration technique produit tel effet ? — je rappelle à ce propos que la thermodynamique est née de la nécessité de comprendre les principes de fonctionnement de la machine à vapeur, et donc d'en optimiser son utilisation — et si j'essayais ceci ou cela ?

Ce n'est bien sûr pas la curiosité qui crée la conviction, mais bien la concordance entre la théorie et la réalité. (Einstein n'a commencé à être cru qu'à partir du moment où on a pu effectivement observer la déviation de la lumière d'étoiles visuellement proches du Soleil.)
Mais pour qu'une théorie puisse se mettre en place, il faut qu'ait préalablement joué le puissant moteur qu'est la curiosité. Comme je le rappelle dans ma signature, « Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.

Ernst, je n'ai pas bien compris ce que tu mentionnes

Oui !!

Bonsoir Ernst, bonsoir à tous

Merciii pour cette belle collection de polynômes symétriques, dont je me suis amusé à visualiser la première colonne sur GeoGebra !!  :-)

Tu as parfaitement résumé !
Et c'est très plaisant de voir concrètement les combinaison ad hoc, et de pouvoir en choisir à souhait, voire d'en créer par simple multiplication par un entier.

J'ai été surpris de voir qu'il y a des combinaisons avec $a = 4$ qui soient autonomes : je pensais que ces combinaisons résulteraient systématiquement de combinaisons avec $a = 2$ multipliées par 2.

Note : Les polynômes bicarrés (c'est-à-dire avec $b = 0$ et $d = 0$) — à quand les polynômes bigarrés ? — sont systématiquement symétriques.
Si $c$ est positif, la courbe présente un seul extremum ; s'il est négatif, la courbe en présente trois.

Par ailleurs, la proportion est $\dfrac {89}{6655} \approx 1,34 \%$

Cela signifie que si on multiplie les quatre coefficients principaux d'un polynôme de degré 4 symétrique par un nombre quelconque (pas forcément entier), on obtient... un polynôme de degré 4 symétrique.

Je citais le polynôme symétrique $2x^4 - 4x^3 + x^2 + x -2$.
Le polynôme $14x^4 - 28x^3 + 7x^2 + 7x - 2$ est lui aussi symétrique, ainsi que le polynôme $-6x^4 + 12x^3 - 3x^2 - 3x -2$.

Donc, la simulation génère en réalité des polynômes "identiques", "multiples" de quelques polynômes de base (par exemple, dont les coefficients principaux sont compris entre -5 et 5).

Cela explique sans doute aussi pourquoi dans ta simulation deux valeurs de $a$ opposées génèrent le même nombre de solutions.

Sur ce, je me couche, car il est 2 h 20.  :-)

Bonsoir Ernst (ou bonjour vu l'heure tardive),

Je comprends maintenant mieux ce qui t'intrigue.

Dans ton premier exemple, $9 = 3^2$ et $27 = 3^3$

Donc $9^3 - 27^2 = (3^2)^3 - (3^3)^2 = 3^6 - 3^6 = 0$

(On peut s'amuser à créer sur ce modèle une tripotée d'équations telles que, soyons fous, $x^3 - y^7 = 0$, avec comme solution $19 \: 487 \: 171$ et $1 \: 331$. :-)

Si maintenant on multiplie les deux valeurs par un nombre $k$ quelconque, on a
$(k \times 3^2)^3 - (k \times 3^3)^2 = k^3 \times 3^6 - k^2 \times 3^6 = (k^3 - k^2) \times 3^6 = k^2(k - 1) \times3^6$  qui n'est nul que si $k = 0$ ou $k = 1$.

Or, dans l'équation qui nous préoccupe, la multiplication par un nombre $k$ quelconque se traduit par $k(b^3 - 4abc + 8a^2d)$.

Tu as peut-être raison : il s'agit peut-être d'une complexité apparente...

J'écrivais à un moment que la curiosité est un puissant moteur — d'ailleurs, une de mes maximes de signature l'énonce indirectement.
Ta démarche en est un bel exemple.  :-)

Bonsoir Ernst, bonsoir tout le monde,

Whaou ! Tu nous as créé un joujou pas mal addictif, car on envie de tester toutes les combinaisons qui passent par la tête !

Maintenant, pour expliquer les bizarreries étonnantes qu'on peut remarquer, c'est sans doute une tout autre paires de manches !!
(Intuitivement, des coefficients devant être tous positifs génèrent moins de possibilités de compensation de signes. D'où peut-être les séries de 0.)
On est là (très) loin des équations diophantiennes !!

Par contre, il est vraiment étonnant que des valeurs particulières de $a$ génèrent un nombre de solutions qui se démarque nettement de celles générées pour des valeurs de $a$ voisines.

C'est saisissant aussi le nombre de solutions testées pour l'intervalle $[-150,150]$ : $8\:208\:541\:201$ soit huit milliards 208 millions 541 mille 201 solutions testées !

Petite suggestion toutefois : si l'intervalle comprend aussi bien des valeurs négatives que positives, il est sans doute préférable de ne pas tenir compte de $a = 0$ car on n'a alors plus un polynôme de quatrième degré.

Bonne fin de soirée à ceux qui s'aventurent dans cette discussion à une heure tardive.

PS : Pour quelqu'un qui ne connaissait pas JavaScript, tu as tout de go réalisé un programme impressionnant !!
Tu pourras nous faire bénéficier de ton code ?

(Personnellement, j'utilise principalement JavaScript pour les possibilités qu'il offre de parcourir le DOM — Document Object Model ; voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Document_Object_Model  — d'une structure html.)

Hello Ernst, hello tout le monde,

Merci de t'être intéressé à la question, et d'avoir pris le temps d'élaborer ce programme ! (C'est intéressant, et en même temps intuitif, de voir que les nombres de solutions pour une valeur absolue donnée de $a$ sont égaux.)

Ce programme m'a au demeurant fait me rendre compte que j'avais oublié de préciser à Chat que $a$ ne doit pas être nul, sinon le polynôme est un polynôme du troisième degré, toujours symétrique.
(J'ai fait rectifier le script en Python ; avec cette restriction, la probabilité que le polynôme soit symétrique lorsque les coefficients sont des entiers compris entre - 5 et +5 est égale à 1,557 %, au lieu de 2,414 %. La modification des bornes de ton programme permettrait de connaître le nombre exact de solutions pour cet intervalle, en décomptant les solutions biaisées par $a = 0$. Je n'ai pas le temps de le faire tout de suite ;  je le ferai ce soir à mon retour de cours.)

Bonne journée à tous.

PS : J'ai réactivé cette discussion car je suis précisément en train d'expliquer que la fameuse forme canonique du polynôme du second degré $a(x - \alpha)^2 + \beta$, qu'on voit en Seconde et en Première, est un cas particulier d'une logique générale.
Ton apport, et celui de Chat, me sont précieux car je peux expliquer que les polynômes du 4ème degré symétriques sont très minoritaires, à plus forte raison ceux du 5ème degré, et au-delà. Merci encore.

Ave Yoshissimus,

La courbe est certes jolie, mais, dans mon exemple, les cinq coefficients sont présents.  :-)

D'ailleurs, une équation bicarrée étant par nature paire, elle est forcément symétrique.
(Si la condition $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$ est vérifiée, la forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ est l'équation bicarrée $ax^4 + \beta x^2 + \gamma$ dont la courbe est décalée horizontalement de $\alpha$, vers la droite si $\alpha$ est positif, vers la gauche s'il est négatif.)

Comme dans le cas d'une équation bicarrée les coefficients $b$ et $d$ sont tous deux nuls, la condition est bien vérifiée ; $0^3 - 4 \times a \times 0 \times c + 8a^2 \times 0 = 0$

Par contre, la condition n'a pas de sens si $b = 0$ et si $d \ne 0$ car dans ce cas $8a^2d$ ne peut être nul.

Remarque : Si $b \ne 0$ et si $d = 0$, la condition se réduit à $b^3 - 4abc = 0$, soit $b(b^2 - 4ac) = 0$
Tiens ? on retrouve $b^2 - 4ac$, mais les coefficients ne sont pas les mêmes.  :-)

Bonsoir Roro, bonsoir à tous,

Effectivement, si on prend des réels quelconques, la probabilité que la relation soit vérifiée est de toute évidence nulle.  :-)

Maintenant, j'aimerais comprendre la logique induite par le choix des bornes $N_1$ et $N_2$.
Par exemple, pourquoi, à amplitude égale, l'intervalle $[-5;5]$ fournit plus de polynômes symétriques que l'intervalle $[0;10]$ ?
(Intuitivement, le signe des coefficients doit jouer. Intuitivement aussi, plus l'amplitude de l'intervalle est grande, plus la probabilité d'obtenir un polynôme symétrique est faible.)

Bonne soirée.

Bonsoir à tous,

Si les cinq coefficients sont des entiers choisis au hasard entre deux entiers $N_1$ et $N_2$, peut-on modéliser la probabilité que le polynôme puisse être retranscrit sous "sa forme canonique" $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ ?

Merci de vos réponses.
Bonne soirée.

Bonjour Bernard, bonjour tout le monde,

J'ai ri de bon cœur en me voyant évoqué ainsi. Je vais donc essayer de me hisser jusqu'au second degré. :-)

Comme vous avez sans doute remarqué que j'aime rédiger avec soin les résolutions d'exercices, je vous propose la résolution borassussienne suivante, telle que je l'écrirais pour une ou un de mes élèves :

La hauteur $h_j$ du triangle jaune est déterminée en écrivant que $\dfrac {h_j \times 7} {2} = 14$, d'où $h_j = \dfrac {14 \times 2}{7} = 4$.
(L'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle ayant pour dimensions la longueur d'un des trois côtés du triangle et celle de la hauteur issue du sommet opposé à ce côté.)

De la même façon, la relation entre la hauteur $h_b$ du triangle bleu et la base $x$ est déterminée en écrivant que $\dfrac {x \times h_b}{2} = 28$, d'où $h_b = \dfrac {56}{x}$.

L'aide du trapèze est égale à la somme des aires des quatre triangles, ce qui s'écrit
$\dfrac {x + 7}{2} \times (h_j + h_b) = 14 + 35 + 28 + 21 = 98$ 
(L'aire d'un trapèze est égale à l'aire du rectangle ayant pour dimensions la moyenne des longueurs des deux bases et la distance entre les deux bases.)

soit $\dfrac {x + 7}{2} \times \left( 4 + \dfrac {56}{x} \right) = 98$ ,
ce qui produit successivement les équations suivantes :

$(x + 7)\,(4x + 56) = 196x$

$4x^2 + 56x + 28x + 392 = 196x$

$4x^2 - 112x + 392 = 0$

$x^2 - 28x + 98 = 0$

Le discriminant $\Delta$ du polynôme est égal à $(-28)^2 - 4 \times 1 \times 98 = 392 = (14 \sqrt {2})^2$.

D'où les deux solutions de l'équation finale centrées sur $- \dfrac {-28}{2 \times 1} = 14$ :
$x_1 = 14 - \dfrac {1}{2} \times 14 \sqrt {2} = 14 - 7 \sqrt {2}$   et   $x_2 = 14 + \dfrac {1}{2} \times 14 \sqrt {2} = 14 + 7 \sqrt {2}$
soit   $x_1 = 7\left(2 - \sqrt {2} \right) \, \approx \, 4,1$   et    $x_2 = 7 \left(2 + \sqrt {2} \right) \, \approx 23,9$.

Comme sur la figure la longueur $x$ correspond à celle de la grande base du trapèze, la valeur devant être retenue est celle de $x_2$.

Bonne soirée, et bon dimanche.
Bien cordialement, et bien amicalement,
B.