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La réponse est claire : non, on ne peut pas parler de tout ça pour les similitudes indirectes.
La bonne question est : pourquoi ?
Petit exercice pour bien voir le problème : prend deux similitudes : une directe (une symétrie centrale), et une indirecte (une symétrie axiale).

Pour chacune de ces similitudes, place les points suivants :
O, un point quelconque invariant par la similitude.
A, au dessus de O, et A' son image par la similitude.
B, plus à gauche que A, et B' son image par la similitude.

Tu remarqueras que pour la symétrie centrale, les angles AOA' et BOB' sont identiques. Pourquoi ? Parce que, quand A tourne dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à O, A' tourne dans le même sens. L'angle AOA est donc constant. Cet angle est l'angle de ta similitude et O son centre.

On peut généraliser ce résultat à toutes les similitudes différentes de la translation et de l'identité.

Pour la symétrie axiale, par contre, tu as deux problèmes :
1) Tu n'as pas qu'un seul point fixe, tu en as une infinité. (Et pour certaines similitudes indirectes, tu n'en as aucun !)
2) Les deux angles ne sont pas constants. Pourquoi ? Parce que, quand A tourne dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à O, A' tourne en sens inverse. L'angle AOA n'est donc pas constant.

Un résultat à connaître : toute similitude indirecte est la composée d'une similitude directe et d'une symétrie. Pour le démontrer, on passe en représentation complexe.

Salut,

Ton raisonnement est bon, mais il utilise une hypothèse, c'est que [tex]f(x) \to +\infty[/tex] quand [tex]x \to +\infty[/tex], dans la version avec la somme des derivées, ou que f soit intégrable sur [tex][a;+\infty][/tex] dans ta version avec la dérivée de la somme.

Or, ces deux conditions sont fausses dans le cas général. En particulier pour les fonctions du noyau de f.

Quelques détails supplémentaires sur la nature de [tex]\Phi[/tex] : [tex]\Phi(f) = f \star \Pi_{[a;b]}[/tex], avec [tex]\star[/tex] le produit de convolution, [tex]\Pi_{[a;b]}[/tex] une porte valant 1 sur [tex][a;b][/tex] et 0 ailleurs.

Pour continuer, nous devons rajouter une hypothèse supplémentaire sur [tex]f[/tex]. On suppose que [tex]f[/tex] et [tex]\Phi(f)[/tex] sont des distributions tempérées (plus précisément, des fonctions assimilables à des distributions tempérées). Alors, [tex]f[/tex] et [tex]\Phi(f)[/tex] admettent chacune une transformée de Fourier qui sont elle-même des distributions tempérées.

Soit [tex]\tilde f[/tex] cette transformée de Fourier. Soit [tex]\tilde \Phi(f)[/tex] la transformée de Fourier de Soit [tex]\Phi(f)[/tex]. Alors, on a :

[tex]\tilde \Phi(f) (\nu) = \tilde f(\nu) \cdot \frac{e^{-i 2 \pi \nu a} - e^{-i 2 \pi \nu b}}{- i 2 \pi \nu}[/tex]

Cette relation détermine complètement [tex]\tilde f(\nu)[/tex] sur les [tex]\nu[/tex] tels que [tex]\frac{e^{-i 2 \pi \nu a} - e^{-i 2 \pi \nu b}}{- i 2 \pi \nu} \neq 0[/tex], mais pas pour les autres.

En triturant un peu cette relation, tu détermines très facilement :
- Le noyau de [tex]\Phi[/tex]
- [tex]f - Pf[/tex] avec P la projection orthogonale de f sur le noyau de [tex]\Phi[/tex], c'est à dire les fonctions développables en série entières, périodiques et de période b-a.

Maintenant, quelques remarques sur les ensembles de définition :

C'est exactement ça ! Attention cependant à ce que [tex]f + h[/tex] fasse toujours partie du domaine d'appartenance de [tex]f[/tex].

Je ne crois pas, car :
- Toutes les fonctions [tex]C^\infty[/tex] ne sont pas développables en série entière. Exemple : [tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex].
- Les fonctions développables en série entières sont [tex]C^\infty[/tex] sur tout l'intérieur du disque de convergence. Pas seulement au voisinage de 0.

A bientôt.

Salut,

Dans ton cas, il n'y a pas de formulme simple.

Salut,

Tu développes [tex]sin(3x)[/tex] ainsi :
[tex]sin(3x) = \frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2i} = \frac{(e^{ix}-e^{-ix})^3+3e^{ix}-3e^{-ix}}{2i} = \frac{(e^{ix}-e^{-ix})^3+3 \cdot 2i sin(x)}{2i} = -4sin(x)^3+3sin(x)[/tex]

Tu obtiens ainsi une équation polynomiale en [tex]y = sin(x)[/tex] qu'il te suffit de résoudre.

A+

Soit l'application [tex]\Phi[/tex], de l'ensemble des fonctions développables en série entière vers l'ensemble des fonctions développables en série entière définie par :

[tex]\Phi(f)(x) = \int_a^b{f(x+y)dy}[/tex].

On cherche à résoudre [tex]\Phi(f) = g[/tex]. Comme [tex]\Phi[/tex] est linéaire, la structure des solutions est :

[tex]f = f_0 + Ker(\Phi)[/tex] avec [tex]f_0[/tex] UNE fonction, n'importe laquelle, telle que [tex]\Phi(f) = g[/tex].

Pour rappel, [tex]Ker(\Phi)[/tex] est l'ensemble des f tels que [tex]\Phi(f) = 0[/tex].

Résolvons maintenant l'équation [tex]\Phi(f) = 0[/tex].

f est continue donc admet une primitive F.

[tex]\Phi(f) = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, \int_a^b{f(x+y)dy} = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, F(x+b) - F(x+a) = 0[/tex]
En posant [tex]y = x + b[/tex] :
<=> [tex]\forall x, F(x+b) - F(x+a) = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, F(y+b-a) = F(y)[/tex]
<=> F est b - a périodique.

Pour trouver un [tex]f_0[/tex] tel que [tex]\Phi(f_0) = g[/tex], on utilise les techniques classiques de transformées de Fourier.

En conclusion générale du problème posé, on peut dire que l'on peut retrouver des informations sur la fonction, mais on ne peut pas déterminer la fonction elle-même  de manière unique.

Bis spät !

P.S : De tous les problèmes de maths que j'ai eu à traiter de ma vie, je trouve que celui-ci est un des plus intéressants !

Salut,

Soit f une fonction en développable en série entière.

Calculons maintenant pour tout j [tex]\int_{a}^{b}{f^{(j)}(y)dy}[/tex].
[tex]\int_{a}^{b}{f^{(j)}(y)dy} = f^{(j-1)}(a) - f^{(j-1)}(b)[/tex].
Donc [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{[\int_{a}^{b}{f^{(n)}(z)dz]\frac{x^n}{n!}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n-1)}(b)}{n!}{x^n} - \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n-1)}(a)}{n!}{x^n} = F(x+b) - F(x+a) = \int_{a}^{b}{f(x+y)}dy[/tex] avec F une primitive de f.

Le problème maintenant est d'arriver à déduire de cela la valeur de f(x). Et là, c'est un peu plus compliqué. C'est un problème de déconvolution, qui se traite par les transformées de Fourier.

Je reviens dessus plus tard...

Salut,

Le problème que tu as, c'est que tu sais quelles conditions doivent être remplies (pas de 0 au dénominateur, pas de nombre négatif sous la racine, etc...) mais tu connais pas l'algorithme (mot plus classe pour désigner une recette de cuisine) qui permet de passer d'une expression mathématique à son domaine de définition.

La méthode que je t'ai donnée s'applique aisément à chacun des cas :

1) racine(a)/racine(b) est défini
<=> racine(a) est défini ET racine(b) est défini ET racine(b) non nul
<=> a est positif ET b est positif ET b est non nul

2) racine(a/b) est défini
<=> a/b est défini ET a/b est positif

Un truc à connaître : a/b est du même signe que ab quand les deux existent.

3) racine(abs(a)) est défini
<=> abs(a) est défini ET abs(a) est positif
<=> abs(a) est définir car abs(a) est tout le temps positif

4) Cas où tu ne peux factoriser dans R :
racine(ax^2+bx+c) est défini dans R
<=> ax^2+bx+c est positif
<=> a > 0 si delta < 0

Note : ici, on ne considère que des fonctions réelles.

5) Cas où tu ne sais pas factoriser :
racine(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f) est défini
<=> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f est positif
<=> ????
Dans ce cas, non seulement tu ne peux pas déterminer le domaine de définition, mais en plus un mathématicien célèbre à démontrer que tu ne peux pas le faire dans tous les cas. Bref, dans ce cas précis, tu dois t'en passer.

Pour les asymptotes, tu dois apprendre à montrer que la limite vaut 1. Conseil : calcule la limite de f^2 et utilises le théorème qui va bien.

Plus de détails sur l'application de Dijkstra à ce problème ici : http://dl.dropbox.com/u/10307619/Applic … jkstra.pdf

En fait, j'ai tout simplement pas eu le temps de donner plus de détails. Dès que j'ai du temps, je poste une solution utilisant les graphes. Elle est pas aussi performante que l'autre, mais je le fais pour l'honneur de l'esprit humain.

C'est exactement la bonne réponse !

Salut,

La 7 et la 8 sont toutes les deux de la forme x^2-Sx+P. Si les racines existent, leur somme est S et leur produit P. Dans les deux cas, je te garantis l'existence des racines, il ne te reste plus qu'à conclure sur leur somme et leur produit.

Le reste, c'est impeccable. Et tu as raison, j'ai oublié les - devant les 1.

Tu fais un graphe dont les sommets sont les appareils en panne, les arêtes les réparations d'un seul objet et la longueur des arêtes le désagrément durant la réparation : temps de réparation de l'appareil x désagrément causé par les appareils en panne.

Trouver la solution optimale au problème revient à trouver le plus court chemin dans ce graphe. Pour cela, les algorithmes de Bellman et de Dijkstra sont tous deux très efficaces. (Dijkstra est applicable car les poids sont positifs)

Maintenant, pour la démonstration des algorithmes en eux-mêmes, je te laisse poser la question à Bellman et Dijkstra en personne. Comme les deux sont morts, il te faudra ressortir les outils habituels pour ce genre de communications téléphoniques et prévoir de l'argent (ce n'est pas une communication locale car, en France, c'est l'enfer, donc ce sera plus cher).