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pas glop

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Définition globale d'une fonction

Bonjour,

Certaines fonctions sont développables en série entières : la donnée de toutes leurs dérivées en un point est un moyen de définir la fonction sur un intervalle. Donc, partant d'informations locales sur la fonction, on en a une connaissance globale. ça marche avec la fonction exponentielle en dimension 1 par exemple.

A l'inverse, est-ce que des informations globales permettent une connaissance locale?

Par exemple : on donne l'intégrale d'une fonction et de toutes ses dérivées sur un intervalle. Peut-on en déduire quelque-chose en un point quelconque de l'intervalle?

fabricen26

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Re : Définition globale d'une fonction

bonjour pas glop je dirais que si ces données sont discrètes alors je dis ceci si j'ai les valeurs d'une fonction sur un intervalle [a b]  je peux connaitre la valeur de l'intégrale ou de sa dérivées sur cet intervalle en utilisant les formule de trapèze et se Simpson etc...

thadrien

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Re : Définition globale d'une fonction

Salut,

Soit f une fonction en développable en série entière.

Calculons maintenant pour tout j [tex]\int_{a}^{b}{f^{(j)}(y)dy}[/tex].
[tex]\int_{a}^{b}{f^{(j)}(y)dy} = f^{(j-1)}(a) - f^{(j-1)}(b)[/tex].
Donc [tex]\sum_{n=0}^{\infty}{[\int_{a}^{b}{f^{(n)}(z)dz]\frac{x^n}{n!}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n-1)}(b)}{n!}{x^n} - \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n-1)}(a)}{n!}{x^n} = F(x+b) - F(x+a) = \int_{a}^{b}{f(x+y)}dy[/tex] avec F une primitive de f.

Le problème maintenant est d'arriver à déduire de cela la valeur de f(x). Et là, c'est un peu plus compliqué. C'est un problème de déconvolution, qui se traite par les transformées de Fourier.

Je reviens dessus plus tard...

Dernière modification par thadrien (10-09-2010 13:49:44)

thadrien

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Re : Définition globale d'une fonction

Soit l'application [tex]\Phi[/tex], de l'ensemble des fonctions développables en série entière vers l'ensemble des fonctions développables en série entière définie par :

[tex]\Phi(f)(x) = \int_a^b{f(x+y)dy}[/tex].

On cherche à résoudre [tex]\Phi(f) = g[/tex]. Comme [tex]\Phi[/tex] est linéaire, la structure des solutions est :

[tex]f = f_0 + Ker(\Phi)[/tex] avec [tex]f_0[/tex] UNE fonction, n'importe laquelle, telle que [tex]\Phi(f) = g[/tex].

Pour rappel, [tex]Ker(\Phi)[/tex] est l'ensemble des f tels que [tex]\Phi(f) = 0[/tex].

Résolvons maintenant l'équation [tex]\Phi(f) = 0[/tex].

f est continue donc admet une primitive F.

[tex]\Phi(f) = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, \int_a^b{f(x+y)dy} = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, F(x+b) - F(x+a) = 0[/tex]
En posant [tex]y = x + b[/tex] :
<=> [tex]\forall x, F(x+b) - F(x+a) = 0[/tex]
<=> [tex]\forall x, F(y+b-a) = F(y)[/tex]
<=> F est b - a périodique.

Pour trouver un [tex]f_0[/tex] tel que [tex]\Phi(f_0) = g[/tex], on utilise les techniques classiques de transformées de Fourier.

En conclusion générale du problème posé, on peut dire que l'on peut retrouver des informations sur la fonction, mais on ne peut pas déterminer la fonction elle-même  de manière unique.

Bis spät !

P.S : De tous les problèmes de maths que j'ai eu à traiter de ma vie, je trouve que celui-ci est un des plus intéressants !

pas glop

Invité

Re : Définition globale d'une fonction

salut thadrien,

merci pour ta réponse, elle est complète et a l'air bien solide.

Concernant le noyau de [tex]\Phi[/tex], le remplacement de [tex]f[/tex] par [tex]f+h[/tex] ne change pas le problème si la fonction h est continue, périodique de période b-a et de moyenne nulle ?

Si oui, ce qui est important est [tex]f-Pf[/tex], avec [tex]Pf[/tex] la projection orthogonale sur les fonctions continues, périodiques de période b-a et de moyenne nulle. On note comme tu l'as fait [tex]g(x)=\Phi(f)(x)[/tex].

Soit [tex]g_k[/tex] la fonction [tex]g(x+k(b-a))[/tex]. On a [tex]\partial_xg(x)=f(x+b)-f(x+a)[/tex]. donc, pour tout k, on a : [tex]\partial_xg_k(x)=f(x+(k+1)b-ka)-f(x+kb-(k-1)a)[/tex].

La somme partielle de la série est [tex]\sum_{k=0}^{k=N}\partial_xg_k(x)=f(x+(N+1)b-Na)-f(x+a)[/tex]. Si le terme en N tend vers 0, alors pour tout x : [tex]\sum_{k=0}^{\infty}\partial_xg_k(x)=0-f(x+a)[/tex].

Je ne sais pas si c'est bon. Considérons une fonction f orthogonale aux fonctions de période b-a et de moyenne nulle. Alors, la connaissance de l'intégrale de f et de toutes ses dérivées sur l'intervalle [a,b] permet de calculer la valeur de f en tout point.

Pour les hypothèses, je pense que l'espace de [tex]f[/tex] est l'ensemble des fonctions [tex]C^{\infty}[/tex] à support compact car une fonction développable en série entière est seulement [tex]C^{\infty}[/tex] au voisinage d'un point. Au niveau de la convergence de la série des [tex]g_k[/tex], ça a l'air ok pour les fonctions à support compact. La dérivation terme à terme doit marcher aussi.

[tex]\sum_{k=0}^{\infty}g_k(x)=\int_{x+a}^{+\infty}f(y)dy[/tex]

thadrien

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Re : Définition globale d'une fonction

Salut,

Ton raisonnement est bon, mais il utilise une hypothèse, c'est que [tex]f(x) \to +\infty[/tex] quand [tex]x \to +\infty[/tex], dans la version avec la somme des derivées, ou que f soit intégrable sur [tex][a;+\infty][/tex] dans ta version avec la dérivée de la somme.

Or, ces deux conditions sont fausses dans le cas général. En particulier pour les fonctions du noyau de f.

Quelques détails supplémentaires sur la nature de [tex]\Phi[/tex] : [tex]\Phi(f) = f \star \Pi_{[a;b]}[/tex], avec [tex]\star[/tex] le produit de convolution, [tex]\Pi_{[a;b]}[/tex] une porte valant 1 sur [tex][a;b][/tex] et 0 ailleurs.

Pour continuer, nous devons rajouter une hypothèse supplémentaire sur [tex]f[/tex]. On suppose que [tex]f[/tex] et [tex]\Phi(f)[/tex] sont des distributions tempérées (plus précisément, des fonctions assimilables à des distributions tempérées). Alors, [tex]f[/tex] et [tex]\Phi(f)[/tex] admettent chacune une transformée de Fourier qui sont elle-même des distributions tempérées.

Soit [tex]\tilde f[/tex] cette transformée de Fourier. Soit [tex]\tilde \Phi(f)[/tex] la transformée de Fourier de Soit [tex]\Phi(f)[/tex]. Alors, on a :

[tex]\tilde \Phi(f) (\nu) = \tilde f(\nu) \cdot \frac{e^{-i 2 \pi \nu a} - e^{-i 2 \pi \nu b}}{- i 2 \pi \nu}[/tex]

Cette relation détermine complètement [tex]\tilde f(\nu)[/tex] sur les [tex]\nu[/tex] tels que [tex]\frac{e^{-i 2 \pi \nu a} - e^{-i 2 \pi \nu b}}{- i 2 \pi \nu} \neq 0[/tex], mais pas pour les autres.

En triturant un peu cette relation, tu détermines très facilement :
- Le noyau de [tex]\Phi[/tex]
- [tex]f - Pf[/tex] avec P la projection orthogonale de f sur le noyau de [tex]\Phi[/tex], c'est à dire les fonctions développables en série entières, périodiques et de période b-a.

Maintenant, quelques remarques sur les ensembles de définition :

Concernant le noyau de [tex]\Phi[/tex], le remplacement de [tex]f[/tex] par [tex]f+h[/tex] ne change pas le problème si la fonction h est continue, périodique de période b-a et de moyenne nulle ?

C'est exactement ça ! Attention cependant à ce que [tex]f + h[/tex] fasse toujours partie du domaine d'appartenance de [tex]f[/tex].

Pour les hypothèses, je pense que l'espace de [tex]f[/tex] est l'ensemble des fonctions [tex]C^{\infty}[/tex] à support compact car une fonction développable en série entière est seulement [tex]C^{\infty}[/tex] au voisinage d'un point. Au niveau de la convergence de la série des [tex]g_k[/tex], ça a l'air ok pour les fonctions à support compact. La dérivation terme à terme doit marcher aussi.

Je ne crois pas, car :
- Toutes les fonctions [tex]C^\infty[/tex] ne sont pas développables en série entière. Exemple : [tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex].
- Les fonctions développables en série entières sont [tex]C^\infty[/tex] sur tout l'intérieur du disque de convergence. Pas seulement au voisinage de 0.

A bientôt.

Dernière modification par thadrien (12-09-2010 16:06:19)

pas glop

Invité

Re : Définition globale d'une fonction

produit de convolution, transformée de Fourier et distributions tempérées... ça faisait un moment que je ne les avaient pas utilisées!

Après ta transformation du produit de convolution en produit, on voit que [tex]\tilde f[/tex] est bien définie presque partout au sens des distributions. C'est un bon début pour connaitre la fonction f...

Il est clair que dans la formule on peut faire [tex]\nu=0[/tex]. On a au moins la moyenne de f sur R.

Merci pour ton aide thadrien