Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour

une fois un nombre décomposé en produit de facteurs premiers et la totalité de ses diviseurs listée dans l'ordre croissant, comment démontrer dans le cas général la propriété selon laquelle le produit de deux diviseurs équidistants des extrêmes ( 1 et le nombre entier) est égal au produit de ces deux derniers (donc au nombre lui-même).

Par exemple, soit le nombre n qui se décompose en [tex]n = a^p.b^q.c^r[/tex]

avec a, b et c nombres premiers
p, q et r entiers naturels
(p+1).(q+1).(r+1) diviseurs

Ce qui m'intéresse ici, c'est la démarche générale. Pour simplifier, on peut supposer  [tex] p \geq q \geq r[/tex].

Merci de m'indiquer comment établir cette méthode en restant sur une démonstration littérale, ou de m'indiquer un article qui fournit la démonstration. Avant de poster, j'ai cherché une telle démonstration sur un site, sans succès après une bonne dizaine de consultations.
D'où ma sollicitation.

Merci par avance

Bonjour

soit un triangle quelconque ABC, le côté AB est plus grand que le côté AC.

Comment montrer que la hauteur issue de C, qui coupe en C' le côté AB (le plus grand des deux côtés) ou son prolongement, est plus petite que celle issue de B, qui coupe en B'  le côté AC (le plus petit des deux côtés) ou son prolongement.

J'ai essayé de considérer les triangles rectangles BB'C et BC'C qui ont même hypoténuse BC, ainsi que les triangles rectangles BB'A et BC'C, en appliquant le théorème de Pythagore.

En tenant comte des alignements, soit  B'A + AC = B'C  et C'A +AB = C'B, je parviens  à établir que

[tex]\frac{AB}{AC} = \frac{AB'}{AC'}[/tex] , donc AB' > AC', mais je ne parviens pas à établir que B'A + AC < BA + AC', ce qui me permettrait de finaliser.

Merci par avance pour votre aide.

Bonjour

soit l'inéquation [tex](x^2-2).(x^2-3) > (m-2).(m-3)[/tex] à résoudre et discuter selon les valeurs prises par le paramètre m.

Pour [tex]m \geq 1[/tex] je trouve [tex]x \in  ]-\infty;-\sqrt{m}[ \cup ]\sqrt{m};+\infty[[/tex]

Pour [tex]m \in [0;1[[/tex] je trouve  [tex]x \in ]-\sqrt{m};\sqrt{m}[[/tex].

Ca se complique pour m < 0 ; en considérant [tex]\sqrt{-m}[/tex], je ne parviens pas à trouver d'intervalles comme ci-dessus.

J'ai fait un test avec m = -4 ; j'aboutis à une inéquation bicarrée [tex]x^4-5x^2+6 > 42[/tex] ou [tex]x^4-5x^2-36 > 0[/tex], qui me donne comme solutions [tex]x \in  ]-\infty;-3[ \cup ]3;+\infty[[/tex], donc sans lien avec [tex]\sqrt{-m}[/tex]

Merci de m'aider à avancer et terminer

Bonjour à tous et toutes

Je sollicite vos avis pour la résolution d'un exercice simple en apparence, mais pour lequel je ne parviens pas à répondre à toutes les questions :

Soit (e₁ ; e₂ ) une base d'un plan vectoriel E₂, u une base d'une droite vectorielle E₁, et f l'application de E₁ dans E₂ définie par :

[tex]\forall x \in \mathbb{R} [/tex] f(x.u) = 2x.e₁ - 5x.e₂

1/ Démontrer que f est une application linéaire de E₁ dans E₂ :  établi sans difficultés

2/ Résoudre dans E₁ l'équation linéaire : f(x.u) = e₁ + e₂

3/ Déterminer une base de Im f

Pour la question 2 : f étant linéaire, on  a  f(x.u) = x.f(u) , avec f(u) se déduisant de l'énoncé pour x  = 1, soit f(u) = 2e₁ - 5e₂. L'équation à résoudre consisterait alors à chercher x tel que x.(2e₁ - 5e₂) =  e₁ + e₂. Et c'est là que je ne comprends pas ; on ne divise pas des vecteurs entre eux.... et je ne vois pas alors comment déterminer x.

Pour la question 3, je pense que l'image de la droite vectorielle par f est/serait la droite vectorielle incluse dans E₂, engendrée  par le vecteur de E₂ :  f(u) = 2e₁ - 5e₂ ?
Une base de Im f serait alors le vecteur f(u), ou tout vecteur qui lui serait colinéaire ?

Merci par avance pour votre aide

Bonjour à tous et toutes

J'ai établi que

si [tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d}[/tex]  alors [tex] \frac{ac}{bd} = \frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}[/tex]

d'après le théorème selon lequel lorsqu'on est en présence de fractions identiques, la fraction de la somme des numérateurs sur la somme des dénominateurs est une fraction identique aux autres.

Il s'agit maintenant de démontrer que la réciproque est fausse, a savoir qu'il existe au moins quatre nombres réels [tex] a,b,c,d[/tex] tels que

si [tex] \frac{ac}{bd} = \frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}[/tex], cela n'entraîne pas nécessairement que [tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d}[/tex]

il faut donc donner un contre-exemple qui invalide la réciproque, et.... je n'y parviens pas.

Pouvez-vous m'aider svp. Merci par avance