Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PhilT1

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hauteurs d'un triangle

Bonjour

soit un triangle quelconque ABC, le côté AB est plus grand que le côté AC.

Comment montrer que la hauteur issue de C, qui coupe en C' le côté AB (le plus grand des deux côtés) ou son prolongement, est plus petite que celle issue de B, qui coupe en B'  le côté AC (le plus petit des deux côtés) ou son prolongement.

J'ai essayé de considérer les triangles rectangles BB'C et BC'C qui ont même hypoténuse BC, ainsi que les triangles rectangles BB'A et BC'C, en appliquant le théorème de Pythagore.

En tenant comte des alignements, soit  B'A + AC = B'C  et C'A +AB = C'B, je parviens  à établir que

[tex]\frac{AB}{AC} = \frac{AB'}{AC'}[/tex] , donc AB' > AC', mais je ne parviens pas à établir que B'A + AC < BA + AC', ce qui me permettrait de finaliser.

Merci par avance pour votre aide.

Pidelta

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Re : hauteurs d'un triangle

Bonjour,

autre piste

dans le triangle $ACC'$, $sin(A)=\dfrac{CC'}{AC}$

dans le triangle $ABB'$, $sin(A)=\dfrac{BB'}{AB}$

DeGeer

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Re : hauteurs d'un triangle

Bonjour
L'aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{1}{2}AB\times CC' = \frac{1}{2}AC \times BB'$ donc si $AB>AC$ alors $CC'<BB'$.

PhilT1

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Re : hauteurs d'un triangle

>> Pidelta + DeGeer

merci à vous deux
- pour vos explications tout aussi convaincantes l'une que l'autre, l'égalité des deux rapports dans la piste donnée par Pidelta aboutit (au facteur commun [tex]\frac{1}{2}[/tex] près) au même résultat que celui de DeGeer, donc à la même conclusion,
- pour m'avoir répondu rapidement.

Bon WE.

Pidelta

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Re : hauteurs d'un triangle

De rien !