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(suite)...j'en déduis
$\forall i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\forall j\in J,\forall i\in I_j$
$\exists i\in\{i\mid\exists j\in J,i\in I_j\}\iff\exists j\in J,\exists i\in I_j$
$\forall i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$
$\exists i\in\{i\mid\forall j\in J,i\in I_j\}\iff ?$

Je ne suis pas sûr pour les 2 premières équivalences, et j'aimerais bien qu'on me renseigne pour les 2 dernières, et surtout qu'on m'explique les règles de l'algèbres booléennes lorsque les quantificateurs sont imbriqués les uns à l'intérieur des autres.

modifié : mon cours de première année L1 ne parle pas des quantificateurs imbriqués. Il s'agit de problèmes que je ne suis pas en mesure de résoudre si je n'ai pas étudié les préceptes correspondants.

Ok. A la toute fin, j'aurais écrit plutôt $\forall j\in J, x\in\{x\mid\forall i\in I_j,x\in E_i\}$ mais je suppose que ça doit être équivalent à ce que tu as écris (bien que je n'ai pas de certitude à 100%, et c'est ce qui me pose un peu problème).

Qu'est-ce que tu appelles "première égalité" ? celle de la 2ème ligne ?

Ma dernière question renvoie à l'égalité se trouvant dans ligne juste au-dessus. Si on compare les 2 membres, on voit que dans le membre de droite on a un $\forall j\in J$ et dans le membre de gauche on a $\bigcup\limits_{j\in J}$.

modifié : à moins que tu parles de la 1ère ligne. Mais dans ce cas cette égalité est équivalente à celle se trouvant sur l'avant-dernière ligne. Tu dis que cette égalité est immédiate à travers la définition. Désolé, moi je ne vois rien d'évident. Je dois justement démontrer cette égalité en utilisant les définitions de chacun des membres.

Je vous remercie de vos réponses. Je viens de me connecter à l'instant. J'avais déjà trouvé par moi-même la réponse pendant le samedi. Si on suppose que l'élément $x_1$ appartient à $A\cap B$, et si $g$ et $g'$ (rien à voir avec la dérivée) sont des applications respectivement de $A$ dans $F$ et de $B$ dans $F$, alors pour des $g$ et $g'$ quelconques on n'a pas nécessairement $g(x_1)=g'(x_1)$. Or, si $f$ est l'application de $E$ dans $F$ telle que $g=f_{\mid A}$ et $g'=f_{\mid B}$, on aurait $f(x_1)\neq f(x_1)$, une telle application $f$ n'existe pas.

Oui il y a d'autres contre-exemples. Un ensemble $A$ dont une partie des éléments ont des antécédents et une autre partie n'a aucun antécédent. Dans ce cas $f(f^{-1}(A))$ ne donnera pas $A$ mais seulement une partie de $A$. Et il est donc facile de conclure que l'ensemble $A$ n'est pas nécessairement inclus dans $B$.

L'image $z$ d'un $y$ de $F$ a un antécédent $x$, mais ça ne signifie pas que chaque $y$ possède un antétédent $x$. En effet, si deux $y$ possèdent une même image $z$, alors $z$ peut avoir un antécédent $x$ par le biais d'un seul de ces $y$, et l'autre $y$ sera sans antécédent $x$, et donc $f$ ne sera pas surjective. En revanche si $z$ a un unique antécédent $y$, alors tout $y$ a un antécédent $x$.

Non, l'implication de droite à gauche je l'avais déjà démontré. C'est l'implication de gauche à droite qu'il faut démontrer.